km3 2
1

Program do obliczeń metodą Newtona w języku MATLAB przedstawiono we wcześniejszych rozdziałach. Schemat iteracyjny łatwo zapisać, mając równanie (a) oraz wzór dla macierzy Jacobiego (c). Dla jednego z punktów startowych otrzymuje się wynik (w radianach):

q = [0.2542 3.9249]^r.    (d)

Zadanie o prędkościach można rozwiązać wykorzystując poniższą zależność, wynikającą ze zróżniczkowania równania (b) względem czasu:

(e)

(0

(g)

(h)

(i)

0)

(k)

(0

d    /    \ ć®    <5®    3®

O = -_r<D(q,ę>)=—q+ — <£. + — = ®„q + ®> = 0, dl    dą    dę    dt

gdzie dla warunków zadania:

•

Po rozwiązaniu układu równań liniowych (e) otrzymuje się wynik (w rad/s):

q = [0.0290 10.0350]'.

Przyspieszenia można obliczyć różniczkując względem czasu wzór na prędkości (e):

jt. di/. \ 3® .    3®.. 3® . o® ..

^<b=-rM<i’<i<p><p)= . q+^-q + tr <p+trr<» = o-dt    dą oq dę dtp

Wyrażenie to można zapisać w postaci:

® = (®_qq)_q q + <i>ą+<E>_qq + <*>„„<1 <i>+®„,>² +    = o •

Poszczególne macierze potrzebne do obliczeń przyspieszeń są równe:

(®,q),=|ft²R₂u/₂fl fl²R₃u/,fc].

Biorąc po uwagę, że £2² = -I, wzór (j) można uprościć do postaci:

(^_qq)_q =-[R₂^u/2^1    ^R3^u/3^₂]'

Ponadto pochodne względem zadanego kąta obrotu korby są równe:

3²®

<t>    = ® = =o

" Sęaą ^2x2

oraz:

(m)

®„

a²®

8ę² :

W rezultacie, korzystając z równania (i) oraz uwzględniając zależności (k)^-(m), wektor przyspieszeń można obliczyć ze wzoru:

= -(®_qq)„q -    •    (n)

Wzór (n) przedstawia układ równań liniowych ze względu na wektor przyśpieszeń t. Macierz w-spółczynników jest taka sama, jak w przypadku zadania o prędkościach.

Po rozwiązaniu numerycznym równania (n) otrzymuje się wektor przyśpieszeń (w rad/s²):

q = [140.5447 179.4470]².    (o)

Po obliczeniu q, q i q należy jeszcze wyznaczyć położenia, prędkości i przyspieszenia środków mas Ci, C₂ i C₃. Położenia tych punktów można określić ze wzorów:

^rc, =|^R.^u/1’ r_Cj = R,u/, + * R₂u/₂, r_Cj =R,u/₁+R₂u/₂ + ^R₃u/₃-    (p)

Po obliczeniach otrzymujemy (w metrach):

r_Ł. = [0.0707 0.0707f, r_fj = [0.4124 0.2118]', r_r =[0.5417 0.1411]⁷ -    (q)

Prędkości środków mas oblicza się różniczkując równania (p) według znanych reguł:

r_Ci = ^ £2R,u/,ę> > r_(i =QR₁u/_l<p + ^QR₂u/₂<j'₁> r_r =    f2R,u/₂<7, + ii!R,u/₃<7₂ •    (^r)

Po obliczeniach otrzymujemy (w m/s):

r_r =[-1.4142 1.4142]', r_c, =[-2.8305 2.8363f, r_Cj =[-1.4163 1.422 lf.    (s)

Przyspieszenia środków mas można obliczyć różniczkując względem czasu zależności (r):

Ć-, =-^R_lu/,r + ^DR₁u/y- r₍. = 2r_f. - ~R₂ul₂qf + ^SlR₂ul₂q_t ,

^rc, = ²ⁱc, - ^R:^u/z9,² + iiR₂u/₂^, - - R₃ul₃ql + * ORjU/j^ •    (0

Ostatecznie uzyskujemy (wyniki w m/s²):

r_C) =[-29.6985 -26.870lf, r_r, =[-69.2945 -15.6526]', r_Cj =[-39.5960 11.2175f -    (u)

12

Prawa zastrzeżone © J. Frączek, M. W oj tyra. Kopiowanie bez zgody autorów zabronione