MAT28

28

3 V —

/ -< /: I n />

n-2

oc

(/i+l)!n²(/i+l) ’

4. E

n= I

⁵-

n= I

⁶ E-7±r'"^

W-l

⁷- Ete)²-

/r-1

III. Zastosowania całki oznaczonej 13. Obliczanie pól figur płaskich

b

Tw. Jeżeli figsą całkowalne w przedziale [a,b] oraz l\ A^x) t #(*)>^t0 P = J[/W -g(^x)]d^x-

xe[n,6]    _a

Przykłady

1. Wyznaczyć pole figury zawartej między dwiema parabolami y² = 2px i x² - 2py (p > 0).

f y² = 2px

Rozw. Wyznaczamy punkty przecięcia obu parabol: < ’    . Z pierwszego równania

[ *² = 2py

mamy .r = -^-y². Wstawiamy do drugiego i otrzymujemy    = 2py\j2p)², czyli

y⁴ - (2pfy = 0 => y[y³ - (2pf ] = 0. A zatem,

^x i = 0

y\ = 0

lub

A‘2 = 2p

y₂ = 2p

. Wobec tego.

Sp> = ±p\

2. Obliczyć pole figury leżącej w pierwszej ćwiartce wewnątrz okręgu x² +y² = 3 a² oraz ograniczonej parabolami x² = 2ay i y² = 2ax (a > 0).

Rozw. Wyznaczamy odciętą punktu przecięcia okręgu z paraboląy² = 2ax :

x² +y² - 3a² y² - 2ax

2.2 -y 2

x- +y- = óa~

A -

2 ay

x² + 2ax - 3a² = 0,A = 16fl² => .vi = -^2af^a = a. Podobnie, y² + 2ay - 3 a² = 0,A = 16«² => y\ = a => x² = 2cr => X| = aj2 .

Wobec tego,

ajl

^p-j(^-^>₊ l -*^J - f*jdx = (y^|.xł - )lS +

+ (j_;j3a²-x² + ₂

3rł² • a arcsin^⁵^

1 A³

rr/3 2o 3

ajl _ a —

Opracował: Marian Malec