ODPOWIEDZI Macierze i geometria3

206 Rozdział 5. Geometria analityczna w przestrzeni

x = -3 + 21,

5.14 a) l : ( y = 5 - t, gdzie t e R, Z :

z = 2 + 3t,    ²

' x = 1 - 3i,

b)    Z :

c)    Z :

d)    Z :

e)    Z : f*) Z

2/ = 2t, gdzie t e R, Z :

i/ = —2 — i, gdzie t € R, Z : ^ = z = 3 + 2t,    ³    -1

-3    2    -2 ’

2/ + 2 z — 3

.z = Q-2t, x = 3t,

x — 7 _ 2/ — 2

6	3 4’
x + 2	y - 4 z
2	-3 ^_ 4’
X — 1	2/+ 1 z - 2
7	-2 31

x = 7 + 6i,

2/ = 2 + 3Z, gdzie f£l, Z : z = 4t, x = — 2 + 2t, 2/ = 4 — 3t, gdzie * € R, Z : z = 4t, r x = 1 + 7t,

y = — 1 — 2t, gdzie t e R, Z :

( z = 2 + 31f,

5.15    a) punkt .4 należy, a punkt B nie należy do prostej Z;

b)    prosta m jest zawarta w płaszczyźnie tr;

c)    punkt 4 należy, a punkt B nie należy do płaszczyzny 7r;

d)    proste h i h mają punkt wspólny (1,2,4);

e)    prosta Z jest równoległa do płaszczyzny tt.

5.16    a) (-1,0,3); b) (1,1,3); c) (0,2,-3).

3

5.17 a) -^=; b) 1; c) 2; d) ^/y e) f) 1; g) y; h) ^^21.

5.18 a) o = arccos —« l,37(rad]    78,7°

b) q = arccos

₂^_f«l,2⁴|^r«i]»70.₉»;

c) a — arc cos w 0,63 [rad ] « 36,3°. V 154

5.19	, ( 8 7 1\ . , (\ 11 ^a) V 3’ 3’ 3/ ’ ^b U’3’3	); c) i ■■	x — 1 2/ — 1 z + 1 1 1 2 '
5.20	a) (0,-5,5); b)	-3); c) (6,1,1).
5.21	a) (-4,-6, 2); b) l : ^	2/ + 4 5	2 + 1 1
5.22	a)|V| = |,|S| = 9; b) |V| =	= 60, |5|	= 2 (l5\/2 + 20\/5 4- n/4154)
5.23	S=V61.
5.24	h = Ty \/TT « 221 km.
5.25	Po = (-4,-12,9).
5.26	Zi4 = 150 m.
5.27	cos ^ = -7=, « 26,6°. v5

Odpowiedzi i wskazówki

207

5.28    S=10\/3l9m².

5.29    d_tnin ⁼ (h-2 — }i\) cos cx — 2000 cos 10    1970 ni.

5.30 Wskazówka. Wykazać, że suma momentów sił ciężkości tych punktów materialnych względem osi obrotu, jest równa O.

5.31 a

) (£0,2/0,20) = (5,    ; b) 4000; c) 3200;

2G (9 A 2 A -7 A    2 A - 2 A

^d) 25 (_V^T ⁺ — ^{+ 7}’1---5- -5,-A - — -4

gdzie 6' jest stałą grawitacji.

Rozdział 6 (str. 192)

6.1 a) (* - l)² + (y - 5)² = 5; b) S= (|,-i), r = c) x + 2y - 0;

d)    są dwa okręgi spełniające warunki zadania:

(x + 5)² + (y - 5)² = 25, (x + 17)² + (y - 17)² = 289;

e)    okrąg x² + (y - l)² = I.

6.2 a) 3x — 4y = 0; b) |PA’| = 12, gdzie S jest punktem styczności;

A A

2 ’ 2

d) (x - 6)² 4- (y - 7)² = 36; e) x² + y² = 25.

A _A

2 ’ 2

c) najbliżej prostej leży punkt P = ( —2 +    ) , a najdalej Q — ( — 2 — 2211, - 21:

₆.3    a)^ ₊ ^ = l;

25    9

b)    a = 10,6 = 5, Fi = (-óA,0), F₂ = (5A,0),e =

c)    a = A, b = -s/3, c = A; d) .4 = (—a,0),

/ a (a² — 36²)    2Aa³ \    ° (°² “ ^3&2)    2y^/3a³ \ ,.._t,

3(<z² + 36²)J’    ^ o.² + 36² ’ 3(a²+36²) j

A

R

a² + 36²

1 fu o) n f^a(^3b2-^a2')    ²^³    \ _C_ (^a(^3b2-“²) .    2v^/3a³_V

^ _{a2 + 3}-_s ■_{13(o2 + 362)}^ a² + 3i>² ’ 3(a² + 3b²)J’

e) 4* — 9y + 13 = 0. 6.4 a) a; — 2t/ 4- 4 = 0; b) y

-^=(x + 3), y = -^=(x + 3);

2 2

c) y = x - 2 A, y — x + 2 A; d) + Ę- = 1.

■łU o

40

6.5 a) y —^ = 1; b) Fx = (-2,0), F₂ = (2,0),    = 2;

c) a = A, 6 = A, S = (1,-1); d) d = y.

6.6 a) 3x — 2y = A; b) iy :

d) n = 2 A, b = 2.

"J=(* - 1), y = J=(® - 1); c) y = -x - 2, y = -x + 2;