Reguła� L Hospitala (3)

3

4.4. Wyrażenia nieoznaczone typu 0° , l⁰⁰, oo°

Aby obliczyć granicę wyrażenia F(x) = (f(x)Y^(x) najpierw obliczamy granicę logarytmu tego wyrażenia tj. lnF(x) = g(x)ln/(x), które we wszystkich trzech przypadkach jest typu

0    oo

0 • oo. Otrzymany symbol sprowadzamy do wyrażenia — lub —. Jeśli otrzymamy granicę

O    oo

skończoną lim ln F(x) = B , to z ciągłości logarytmu wynika, że szukana granica jest równa

JC->JC₀

lim F(x) = lim (/(x))^s<JC) = e^B.

x^>x₀    X—>Xq

lim F(x) = O,

x->x₀

lim F(x) = oo .

x->x₀

Jeśli otrzymamy B = -oo, to a jeśli B = +oo, to

Zadanie 5. Obliczyć granicę lim x*.

*->o⁺

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0°. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logarytmu.

1

= lim —^r-

x->0⁺    1

.    lnx

- lim x = O

>0⁺

lim lnx* = lim xlnx = lim - lim -^.-r-

x->0⁺    x—>0⁺    x->0+ 1    x->0⁺ U t

x    dx x

lim x^x =e° =1.

x-*0⁺

Zadanie 6. Obliczyć granicę lim

1 + -

\ xj

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać l”. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logarytmu.

d

	Ml	X	f.+il
lim ln		= limx-ln
x^>oo	r x)	*-»co	k ^x)

= lim

Jt->co

ln

1 +

	k x)
x—>0O	1
r 1 ^	X f, n
x J	k x)

lim-

ln

j+ij

k_x)

= lim d 1

cbc x

f nr, o

i+-

\ x )

k_x)_ _

1

Stąd

lim

X->CO

l₊i

k ^x)

= e =e

= 1.