przebieg zmiennosci funkcji2

ZADANIE 2

Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres: f(x) = x² + |

Rozwiązanie

1. Dziedzina funkcji Założenie: x & 0, zatem:

Dj— R \ {0} = (-00, 0) u (O, +co)

2. Punkty wspólne z osiami QX, OY

oś OX
x^2 + — = 0 /■ x	c; r.' -- !■ ą>, - ^ ąPunkty,;Vvśpóine z^:0X;znajdujemy^
X	równanie , .... ,v,;;-y Pu ^: ’■ ' > ■
x^3 + 2 = 0	• . ;.x- °- ■ ^Mnożymy stronami przez x Powstaje równanie
x^3 = -2	trzeciego stopnia,^-które ma jedno rozwiązanie. i (Pierwiastek trzeciego stopnia liczby ujemnej ist-;
x='f~2 —-$2 A(-%2, 0)	nieje!;. . -
oś OY

Nie ma punktów wspólnych z OY, dlatego że szukając takich punktów należałoby w miejsce x wstawić 0, a ten punkt nie należy do dziedziny funkcji.

3. Parzystość i nieparzystość funkcji

f(x)=x² +

f(-x)=X>

_ v2_.

-f(x) =-X

>/(*) ^oraz -f{x) */(*)

Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. 4. Granice    +

lim /(x) = lim \ x² + - J = +co

X

O - TCO

lim f{x) = lim I x² + - 1= +oo

lim_ f(x) = lim x² +

x-» O    jr-> O lim/(jc) = lim (X² + ^ I = +

Asymptota pionowa istnieje i ma równanie x = 0. Asymptota pozioma nie istnieje.

Asymptota ukośna

y- ax + b, gdzie

a = lim , b — lim (/(x) - ax)

x—>±co    X    x~^J>±co

a = lim

.*->±00

lim

x->±oo

m

X

- lim

X—>±00

„a" nie istnieje, w związku z tym b też nie istnieje. 5. Pochodna

/'« =

_| (2y-x-2-(xy _

= 2x +

2x³ - 2