scan 6

Teraz zobaczymy jak wygląda prawa strona równości. Trzeba w miejsce n do wzoru danego w temacie wstawić n + 1.

H + l n+1    n+1

V V    V

p_n (n + 1) (2n+l) _

6

_ (n +1) (n + 1 + 1) (2 (n +1) +1) _

6

_ (n-<-l)(n + 2)(2n + 2 + 1) _

6

_ (n + l)(w-t-2)(2n + 3) _

6

i „    ,,-    Mnożę wyrażenia, redukuję

(n~+2n + n + 2)(2n+3)    \ _L

= --——-- =    wyrazy podobne.

6

_ 2n³+3n¹+4n²+t>n + 2n¹+3n+4n+(3 _

“6

_ 2/z³+9m²+13/1+6 6

L = P

Zad.6.

Udowodnij, że A 1² + 3²+ 5²+ ... + n² = — n(n + l)(2n + 1)

reN    6

Dowód

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej). Oznaczamy lewą stronę równania przez L, a prawą przez P.

Niech n = 1, wtedy:

L = l² = 1

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli równość jest prawdziwa dla n, to czy jest prawdziwa dla następnej liczby naturalnej, czyli n+1

Zamiast l² + 3² + 5² + ... + n¹, zgodnie z założeniem indukcyjnym wstawiamy

4-/i(n + l)(2n + l) i dopisujemy 6

następny wyraz sumy, czyli

(« + D².

L = l² + 3² + 5² + ... + n² + (n + l)² =

^v-v-'

= 4 n(n+ l)(2n+ 1)    + (n + l)² =

= 4 n(2n² + n+2n + l)+n² + 2n + l = 6

= 4 n -/Ln~ + — nn + — n -/n + — n ■ 1 + n² + 2n +1 =

J&i    6    £₃    6

Wykonujemy zaznaczone = -^n² + ^n² + ~-n² +-^n + n² + 2n + l= działania, wymnażając wy-³    6    °    _ _ rażenia w nawiasach, pod

₌ .„3₊^_+>1=

nosimy (n+1) do kwadratu, redukujemy wyrazy podobne.

'T"³⁺ł"²⁺f”⁺¹

Teraz prawa strona. Podstawiamy w miejsce n, n + 1, czyli

P =4(” + 1)(« + 2)(2(/i +%) + l) = Po podstawieniu n + 1, o    staramy się wymnożyć

= — (n + l)(n + 2)(2n+2 +1) = 6

wyrażenia w nawiasach 1    . u-.    . i\_    oraz zredukować wyrazy

podobne.

17

P = 4-l(l + l)(21 + l) = 6

= -—2-3=4- -6=1

6 6

L = P

W miejsce n we wzorze

Ą-n(n + l)(2n + 1) wstawiamy 6

1 i wykorzystujemy zaznaczone działania.

Zauważamy, że lewa strona równa się prawej.

M Tom Ul. Ark. IU