str033

teraz, że spełniony jest warunek b) i E_n — E. Zatem na podstawie zadania 174

_Xe^ — x_K, więc na podstawie b), — x_t (prawie wszędzie), a na podstawie

zadania 173, E_n —■ E (prawie wszędzie). Załóżmy, że spełniony jest warunek c). Na podstawie zadania 145 otrzymujemy, że spełniony jest warunek a). Wykazaliśmy równoważność warunków a), b), c).

178. Załóżmy, że spełniony jest warunek a), wówczas na podstawie zadania 142 miara fi jest czysto atomowa. Załóżmy, że ciąg funkcji mierzalnych {f_n}nev spełnia

warunek /„ —- /, więc na podstawie zadania 177, /„ —* / (prawie wszędzie), tzn. wszędzie poza pewnym zbiorem A i /i(A) = 0, ale ponieważ /i jest ściśle dodatnia, więc A — 0 i f_n —¹► / wszędzie. Wykazaliśmy, że z warunku a) wynika warunek b).

Załóżmy teraz, że spełniony jest warunek b) i niech E_n —• E. Na podstawie

zadania 174, x_e„ ~*X_B- Na podstawie b), x_Sii -* \b> ^w'?^c En E (patrz zadanie 172). Z warunku b) wynika warunek c).

Załóżmy, że jest spełniony warunek c). Niech E„ —*• E (prawie wszędzie). Ponieważ n jest skończona, więc E_n —* E, zatem E_n —* E. Stąd wynika, że fi jest miarą ściśle dodatnią.

179. Wskazówka: rozważyć funkcje /„ = , gdzie A_n są zbiorami zdefi

niowanymi w rozwiązaniu zadania 129.

180. Wskazówka: skorzystać z twierdzenia, że jeżeli E jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to dla dowolnego e > 0 istnieje zbiór domknięty F C E taki, że yt(E - F) < er

181. Niech /Ił,, = flm=n{^{r ;} /m(*) > <N^a rt,k £ N. Niech B = {x : lirn_m_eo /m(s) = +oo}. Dla dowolnego i £ N, B C Ur=i ^oraz C .4ł,„+i dla n £ N. Zatem lim_n_co n(Akn) = A*( U^Li ^*r») > M("Ś) = n(X) dla dowolnego k £ N, a więc lim_n_eo - A<,_n) = 0 dlal- € N. Stąd dla dowolnego e > 0 i dowolnego k £ N istnieje nj, £ N takie, że p(„Y - Aj.,_u) < Niech A =

wtedy n{X - ,4) = n{ UkLi(-^ “ A*n,,)} < e. Zauważmy, że dla dowolnego k £ N istnieje tu- £ N takie, że dla dowolnego m £ N spełniającego nierówność m > nt zachodzi /„,(*) > k dla x £ Stąd, wobec inkluzji A C AŁ„_k wynika, że

f_m +oo na zbiorze .4.

182. Niech n oznacza miarę Lebesgue’a w R. Rozważmy ciąg funkcji /„(*) = E"i 5rV’(2ⁿ(*-r_i)), gdzie

¥>(*) = <

2 - 2x 0

dla x £ (-co,0), dla x £ [O, i], dla x £ (^ l], dla i £ (l,+oo),

a (fijigfi jest dowolnym przeliczalnym zbiorem gęstym w IR. Na podstawie kryterium Weierstrassa szeregi :Jr^(2"(z — n)) są jednostajnie zbieżne dla n £ N. Funkcje /„(*) są więc funkcjami ciągłymi.

Rozważmy dowolny przedział (a, 6). Pokażemy, że ciąg {/_n}neiJ nie jest jednostajnie zbieżny na (a, 6). Z założenia o gęstości ciągu (ł*i}/eN wynika, że istnieje

takie io € N, że rj, 6 (a,6), a zatem istnieje takie n₀, że z„ = r,-₀ -f < i dl_an > n₀, a więc yj(2ⁿ(x„ - r_io)) = 1 i stąd

sup fn(x)>fn(x_n)>-zr dla n > n₀.

0<I<4 2">

Wykazaliśmy, że ciąg {f„)nzx nie jest jednostajnie zbieżny na (a, 6).

Niech..4 będzie dowolnym zbiorem, na którym ciąg jest jednostajnie

zbieżny. Połóżmy a„ = sup_r€^ /„(z). A zatem limn-cojin = 0. Funkcje f_n są ciągle, więc a„ = sup_rE^/_n(z), stąd mamy, że /„ =j 0 na A. Z powyższych rozważań wynika, że A nie może zawierać żadnego przedziału. Zbiór A jest więc zbiorem nigdzie gęstym. Stąd wynika, że dowolny zbiór, na którym ciąg {/_n}nEH jest zbieżny jednostajnie musi być zbiorem nigdzie gęstym. Rozważmy jako przestrzeń przedział [c,d], gdzie d - c < oo i powyżej zdefiniowany ciąg funkcji {/„Inert, a więc lim_n__M /„(z) = 0 dla x € [c,d]. Załóżmy, że istnieje zbiór £ C [c, d] taki, że /„ =j 0 na zbiorze E i /t([c, d] — JS7) = 0. Wtedy zbiór E jest zbiorem nigdzie gęstym, a więc [c, d] - E = 0, co jest niemożliwe.

Otrzymaliśmy, że w tezie twierdzenia Jegorowa nie można uzyskać warunku n(X-

E) = 0.

183. Z twierdzenia Jegorowa wynika istnienie zbioru E\ C X takiego, że /„ =: / na E\ i n{X - Ei) < 5. Ponownie stosując twierdzenie Jegorowa do zbioru X — E_t, otrzymujemy zbiór £3 C X — £1 taki, że /„ =5 / na £3 i fi(X - £3) < jj.

Załóżmy, że zostały już wybrane zbiory £i,Ej,... ,£t-j. Zbiór £,• wybieramy na podstawie twierdzenia Jegorowa tak, aby £,• C X - Uł-\ , /n =t / na £,• i /i(X - £() < £. Połóżmy £ = U Łjft. - E) = /»(|T»i(* - £»)) < /s(X - £,) < dla i e N, więc n(X - £) = 0 i oczywiście /„ =: / na Ei dla i e N.

184. Wskazówka: zastosować zadanie 183 do każdego ze zbiorów Xt.

185. Rozważmy przykład. Niech X = (0,1) i

M-4) =

card(A)

dla skończonych podzbiorów [0,1], dla nieskończonych podzbiorów [0,1].

Miara /i nie jest pólskończona.

Niech {/n}n€N będzie ciągiem funkcji zdefiniowanych w rozwiązaniu zadania 182. Są to funkcje mierzalne względem miary n (patrz rozwiązanie zadania 149). Mamy, że f_n —• 0 na [0,1] (patrz zadanie 182). Przypuśćmy, że istnieje zbiór £ = (J” 1 £,• taki, że /„ =ł / na Ei dla i = 1,2,..., oraz /i([0,l] - £) = 0. Zbiory £,• są nigdzie gęste (patrz rozwiązanie zadania 182). Zatem [0,1] = £ U ([0,1] — £), ale jj([0, 1] - £) = 0. Stąd wynika, że £ = [0,1], co jest niemożliwe.

186. Zauważmy, że dla dowolnego i£lŚ, /„(x) —*• 0. Przypuśćmy, że jest spełniona teza twierdzenia Jegorowa, tzn. dla dowolnego c > 0 istnieje zbiór £ taki, że f_n =3 0 na £ i /r(R — £)<£. Z warunku jt(R — £) < £ wynika, że dla dowolnego n £ N istnieje x„ £ E n [n, +00), więc /„(x„) = 1, co jest sprzeczne z warunkiem f_n =3 0 na zbiorze £. Nie jest spelnioue założenie ^i(.Y) < 00.

187. Zachodzi równos'ć [0,1) = (J,^¹ (?; U(J“_n Qi, przy czym Qi CiQj = 0 dla i jć j oraz dla dowolnego n 6 N mamy fi*(Q„) = a > 0 (patrz rozwiązanie zadania 101).