ZAS ZACH PĘD SIŁ ODŚR 4

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA

Zadanie 2.22

zmiana ciężaru ciała

Na jakiej wysokości ciężar ciała jest n razy mniejszy od ciężaru tego ciała na powierzchni Ziemi? Promień Ziemi R = 6370 km. Szczegółowe obliczenia numeryczne wykonaj dla n= 9.

Dane:    R = 6370 km n = 9    J "2

Szukane:    h - ? - wysokość, na jakiej ciężar ciała    ,    ** gl

jest n razy mniejszy niż przy powierzchni Ziemi Szukamy w zadaniu takiej wysokości h, dla której siła przyciągania grawitacyjnego F~\ pomiędzy Ziemią a dowolnym ciałem będzie n razy mniejsza od siły przyciągania grawitacyjnego Fg pomiędzy tym samym ciałem i Ziemią, z tym, że w tym drugim przypadku ciało umieszczono na powierzchni Ziemi.

Czyli powinno zachodzić:

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia (wzór (2.9)):

F_ki    oraz F_g2 = G*% ,

^gl (R+h)²    R²

gdzie m jest masą ciała, a M jest masą Ziemi. Otrzymamy więc następujące równanie:

_nC_Bt£_TmCg^ / CntM (R+h)² R² I » m ¹

(R+h)² R² nR²*(R+h)²

Równanie to rozpisujemy, pamiętając, że naszym ”x- em“ będzie tutaj h.

A²+2Rń+(1-i»V?²-0.

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe typu ax² + Ar+c*0. Rozwiązujemy je licząc A - ó² -4oc, a następnie obliczając pierwiastki: *| - ^b oraz *2 ■ ~*\o -• Czyli w naszym przypadku:

A * 4R² - 4(1 - n)R² = 4nR² i dalej: JS * 2K ,/n.

Stąd rozwiązania równania:

-2R-2R/ń _n .    _    .    -2R+2R/H    _    .

/»l --j-■-R(l + y») oraz /»2"-j--1).

Wartość ś| < 0,    nie może więc być szukanym przez nas    rozwiązaniem.    Wynika z tego, iż

rozwiązanie stanowi drugi pierwiastek trójmianu kwadratowego. Zapiszmy więc:

h = R(/n- 1).

Po podstawieniu danych liczbowych:

h * 637o(y9 - l) km = 6370 -2 km - 12 740 km.

Odo. Ciężar ciała będzie n razy mniejszy od ciężaru tego ciała na powierzchni Ziemi, jeśli umieści się je na wysokości h = R(Jn -1), czyli dla n = 9 mamy h ■ 12 740 km.

Z jaką prędkością krąży Ziemia wokół Skłóca, jeżeli odległość między nimi rm 1.5. I0^llm. a masa Słońca M, * 1.9-1 O*⁰ kg? Stała grawitacji G = 6.67 • I0^-11

hr

Zadanie 2.24 |    ruch po orbicie kołowej

Znaleźć masę Ziemi, jeżeli wiadomo, że sztuczny satelita obiega Ziemię na wysokości h ■ 1000 km w czasie T = 106 min Promień Ziemi R = 6370km. stała grawitacji

G ■ 6.67 • I0“*¹ -®-r.

kr*²

Zadanie 2.25 |    zmiana ciężaru ciała

O ile zmniejszy się ciężar ciała na szczycie góry Mount Everest (h ■ 8.848 km) w porównaniu z jego ciężarem na poziomie morza? Promień Ziemi R = 6370 km.

Zadanie 2.26

samochód na zakręcie

Znaleźć maksymalną prędkość, z jaką samochód może poruszać się na zakręcie szosy asfaltowej o promieniu krzywizny R = 100 m. Efektywny współczynnik tarcia między oponami samochodu a asfaltem/■ 0.6, przyspieszenie ziemskie g = 9.8

Ikmc:    R* 100 m    /- 0.6    g-9.8*

r

Szukane vm*\ =? Dla prędkości vS Vnx samochód pokona zakręt bezpiecznie, natomiast dla v> Vonx samochód 'wypadnie" z zakrętu.

Zadanie 2.23

ruch po orbicie kołowej

Na samochód, pokonujący zakręt ze stałą prędkością będą działać w kierunku promienia krzywizny zakrętu (równolegle do powierzchni szosy) dwie siły: siła odśrodkowa bezwładności, /•'

i siła tarcia 7‘. Siła odśrodkowa bezwładności działa w

układzie odniesienia związanym z poruszającym się samochodem wtedy, gdy samochód ten znąjduje się na zakręcie. Siła tarcia przeciwdziała natomiast przesuwaniu się samochodu pod wpływem siły odśrodkowej, czyli przeciwdziała "wypadnięciu" samochodu z zakrętu. Wartość siły tarcia, zgodnie z (2.12), T~JF_N, gdzie F_N * /* * mg jest ciężarem samochodu. Dla dopuszczalnej bezpiecznej prędkości maksymalnej mamy:

73