Zdjęcie 0084

1.    Macierz kwadratową i 11 (operator liniowy w R^k) nazywamy projektorem, gdy P² = P i P* = P. P* oznacza tu macierz transponowaną, a w języku operatorów liniowych operator sprzężony czyli

(Px, y) = (x, P*y)

dla dowolnych x, y G R^fc. Pokazać, że każdy wektor x 1 H można przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów x = y +z, gdzie y G im P, y G ker P i przedstawienie to jest jednoznaczne.

Wskazówka, y = Px.

To wyjaśnia nazwę projektor (operator rzutowy).

2.    Niech macierz kwadratowa A będzie symetryczna A* = A. Z algebry liniowej wiadomo, że wielomian charakterystyczny macierzy A ma wtedy wyłącznie pierwiastki rzeczywiste:

Ai,A₂,...,A_p, p<k.

Pokazać, że istnieją wtedy projektory Pj (rzutuje na podprzestrzeń własną Xj) j = 1,... ,p, takie, że

A = A\P\ + A₂P₂ + • • ■ ApPp.

Znaleźć trajektorie dyskretnego układu dynamicznego w R^fc danego przez A. Jak zależą one od wartości własnych?

3. Dla k = 2 znaleźć postać macierzy będącej projektorem.

Odp. W pierwszym wierszu a, ±-y/a( 1 — a), a w drugim ±y^/a(l — a), 1 — a.

4. Niech

Pokazać, że wartościami własnymi są Ai_>2 = ^1±^, a projektory na podprzestrzenie własne mają postać

P =

AJ + ł

J = 1.2.