008

Odtud je videt, że plati: Prifadime-li każdemu komplexnimu ćislu x + Oi realne Cisło x, je souCtu komplexnich ćisel (xi + Oi) + (X2 + Oi) prirazeno realne Cisło x\ + X2 a soućinu (x\ + 0i)(a:2 + Oi) realne Cisło X\X2- To vsak znamena, że komplexni Cisla, jejichż imaginarni Cast, je nulova, se vuCi sCitani i nasobeni chovaji stejnym zpusobem jako Cisla realna. Je proto możne divat se na realna Cisla jako na Cisla komplexni, jejichż imaginarni Cast je rovna nule; realna Cisla lze tedy povażovat za zvlaśtni pripad Cisel komplexnich. Tato fakta umożnuji, abychom v zapisu x + Oi vynechavali ćlen Oi a psali pouze x. Uvedme jeste na zaver (viz też uloha 1.10), że v oboru komplcxnich Cisel (podobne jako u Cisel realnych) plati:

Soucin nuly a libovolneho komplexniho Cisla je roven nule.

Pozndmka. Obór komplexm'ch cisel lze vytvorit nasledovne.

Komplexnx cisla se zavedou jako usporadane dvojice realnych ćisel a jejich sćitani a nasobeni se definuje takto:

(a, 6) + (c, d) = (a + c, b + d),    (a, 6) ■ (c, d) = (ac — bd, ad + bc)

Snadno se ovćri, źe takto definovane sCitani a nasobeni splnuje prislusny komuta-tivni, asociativni i distributivni zakon. Pro usporadane dvojice tvaru (t, 0) pfitom plati

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0),    (a, 0) ■ (c, 0) = (ac — 0 0, a • 0 + 0 ■ c) = (ac, 0),

coź znamena, źe tyto usporadane dvojice se sćitaji a nasobi stejnym zpusobem jako ćisla realna. Muźeme tedy każdou usporadanou dvojici (t, 0) ztotożnit s realnym ćislem i. Oznaćime-li jeste komplexni ćislo (0,1) pismenem i, je możne każde komplexni ćislo (a, b) zapsat. ve tvaru a + 6i, nebot’ plati

(a, 6) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) • (0,1) = a + 6i.

Vyznam ćisla i dostaneme ze vztahu:

i² = (0,1) • (0,1) = (0 ■ 0 - 1 ■ 1, 0 • 1 + 1 • 0) = (-1,0) = -1

Ulohy

1.6    Urcete, pro ktera realna Cisla p nenia rovnice x² + 4x +p = 0 s neznamou x realne koreny.

1.7    Zjistete, zda Cisla 1 ± i jsou koreny rovnice x² — 2x + 2 — 0.

1.8    Overte, zda Cisla —2 ± i\/2 jsou koreny rovnice x² + 4x + 6 = 0. *1.9 Dokażte, że pro każde realne Cisło x a libovolne komplexni Cisło

a + bi plati: x(a + bi) — (xa) + (rrfc)i.

*1.10 Dokaźte, źe pro libovolne komplexiri Cisło a + bi plati 0 • (o + bi) = (o + 6i) • 0 = 0.

1.3 Sćitóm a nasobeni komplexmch ćisel

V predeslem ćlanku jsme zavedli komplexni Cisla jako cisla, ktcra lze yyjadrit ve tvaru a + bi, kde a, b jsou cisla realna a i je Cisło, pro nóż plati i² = —1.

Zapis komplexniho Cisla z ve tyaru a + b i se nazyva algebraicky tvar komplexniho Cisla z.

Pripomefime si, źe realnou ćasti Cisla a + bi se rozumi Cisło a, imaginarni Casti Cisło b (nikoli 6i): Cisło i se nazyva imaginarni jed-notka. Ćisla a + bi, pro neź je 6^0, se nazyvaji imaginarni. a je-li navic jeste a = 0, nazyvaji se ryzę imaginarni. O Cislech a + bi, pro neź je b = 0, uź vime, źe to jsou ćisla realna. Uvedme pro ilustraci, źe z komplexnich ćisel 3 — Si, 2i, 7 — 2\/5, — 1 + i, \/3. \/3 — i\/2, 0, —|i jsou ćisla 7 — 2\/5, \/3, 0 realna, ćisla 3 — 5i, 2i, —1 + i, \/3 — i\/2, — |i imaginarni a z nich pak ćisla 2i, — |i ryzę imaginarni. Z vyjadreni komplexniho ćisla v algebraickem tvaru pozname na prvni pohled, zda se jedna o ćislo realne anebo o ćislo imaginarni; dalsi yyhodou je, źe si nemusime pamatovat definice soućtu a soućinu, nebot’ komplexni ćisla zapsana v algebraickem tvaru muźerne sćitat. a nasobit jako dvojćleny.

Pfiklad 1

Zapiśte v algebraickem tvaru ćislo (2 + 3i)(l + i) — (2 + i)(l — 3i). Reśem

(2 + 3i)(l + i) - (2 + i)(l — 3i) =

= (2 + 2i + 3i + 3i²) - (2 - 6i + i - 3i²) =

= (-1 + 5i) - (5 - 5i) = -6 + lOi

15