0137

138

II. Funkcje jednej zmiennej

przedstawiamy rozważane wyrażenie kolejno w postaci

(x+a_l)...(x+a_k)-x^k

(y~.f-ⁱ+_X(yzr²+...+x^t-¹

,    ,    ,    «1 fl2 + --+Bl-I Ol

(fli +... +a*)H---1-...

+ ...+1

Przy x-» + oo wyrażenie podpierwiastkowe dąży do 1, a więc i pierwiastek ma granicę \/\ = \ ze względu na ciągłość pierwiastka, jako szczególnego przypadku funkcji potęgowej. Ponieważ wielomian (k—l)-szego stopnia (od pierwiastka) występujący w mianowniku także jest funkcją ciągłą, więc mianownik dąży do k, a granicą całego ułamka jest

u 14* 02 -ł- •. • + Ok k

3) Powróćmy do tezy z ustępu 33,13). Niech będzie a„>0 i a„->a. Załóżmy na razie, że 0<a< + oo i zastosujmy wspomnianą tezę do ciągu {ln a„).

Ponieważ ln a„->ln a (na mocy ciągłości funkcji logarytmicznej), więc

..    .    «/- .. lna, + ...+lnfl„

liniln    ⁼    -“Ina.

n

W takim razie ze względu na ciągłość funkcji wykładniczej mamy

nł    in a/«i • • <4.    In a

ya₁...a„=e¹“ v "->e    =_a.

Za pomocą granic 1) i 2) z ustępu 54 wynik ten przenosi się i na przypadek a=0 oraz a= +oo.

Tak więc, otrzymujemy następującą modyfikację wspomnianej tezy:

Jeżeli ciąg o wyrazach dodatnich a_n ma granicę (skończoną lub nie), to tę samą granicę ma również

ciąg    ___

b„ — ai aż •.. a„.

4) Stosując tę tezę do ciągu

o 2    &n    Un+1

^al > “ » -» •••» -» - >

O i O 2    Gn-l G„

otrzymujemy interesujący wniosek:

a„

lim a„=lim    ₍

przy założeniu, że istnieje druga z tych granic. Znajdźmy dla przykładu granicę

.. v^!

lim-•

n

Podstawiając a„ =«!/«“, otrzymujemy

o»+i_ (n + 1)!    «!    1    1

a„ (n-t-1)¹' rT l.    1 V e

' K)'

5) Ustalimy kilka ważnych granic, które będą przydatne w następnym rozdziale:

(a)

log„(l+a)    /O

^-^l08*^e (o I-