0211

213

§ 4. Najprostsze równania różniczkowe

Podstawiając tu t = 0 widzimy, że C nie jest niczym innym tylko początkową temperaturą 0_O, a więc ostatecznie dostajemy wzór

0 = 0_O «'

który podaje temperaturę ciała w każdej chwili, jeśli tylko znana jest temperatura (0o) w chwili początkowej.

Współczynnik k zależy od własności ciała i ośrodka; wyznacza się go metodami doświadczalnymi.

4) Prądy dodatkowe przy zamykaniu i przerywaniu obwodu elektrycznego. Jeśli w obwodzie elektrycznym napięcie jest stałe i równe V, to oznaczając przez R opór obwodu i przez 1 natężenie prądu mamy w myśl prawa Ohma V = Rl. Jeśli jednakże napięcie Kzmienia się (a także w chwili włączenia lub przerywania prądu o napięciu stałym), to w wielu przypadkach zachodzi zjawisko samoindukcji, które polega nr. pojawieniu się dodatkowej siły elektromotorycznej wprost proporcjonalnej do prędkości zmiany natęże-dl

nia prądu —r-, ale mającej przeciwny znak. W ten sposób wielkość siły elektromotorycznej samoinduk-at

cji można napisać w postaci

—L

ŚL

dt gdzie L jest to współczynnik samoindukcji (L>0).

Jeśli pojawia się samoindukcja, to przy przerywaniu dopływu prądu jego natężenie nie od razu spada do 0, a przy włączeniu nie od razu osiąga swoją wartość normalną. Zbadamy te zjawiska analitycznie. Prawo Ohma ma w tym przypadku postać następującą:

(13)    v=-L—=RI lub — +

dt    dt L L

(a) Przypuśćmy, że w chwili / = 0 przerywamy prąd stały o natężeniu /₀. Ponieważ wtedy V = 0,

więc

~- + -y-1=0 dt L

lub

ŚL

I

L

dt

i analogicznie jak w przykładzie 3)

R

/ = /₀e'^r'.

Ten prąd, przepływający w obwodzie z powodu działania samej tylko siły elektromotorycznej samoindukcji, nazywa się prądem indukcyjnym. Ze wzrostem t natężenie tego prądu szybko zmierza do 0 i po krótkim czasie staje się on niewyczuwalny.

(b) Jeśli w chwili t = 0 zamykamy obwód i pojawia się w nim stałe napięcie V, to z równania (13), znów rozdzielając zmienne, otrzymujemy

JZML=-A_dt, la(V~RI)= - At+lnC,

R

V—RI — Ce~^T>.

Stałą C wyznaczamy z warunków początkowych / = Odia f = 0; oczywiście C = V, a więc ostatecznie

Widzimy, że oprócz prądu o natężeniu VIR, odpowiadającym prawu Ohma, jednocześnie płynie w przeciwnym kierunku prąd o natężeniu

V_

R

e

R

— t L