0299

§ 5. Szeregi iterowane i podwójne

301

4)    Na to, by szereg

ysi±w,^

Zj ii ki

l.km 0

by! bezwzględnie zbieżny, tzn. by był zbieżny szereg

2itt±!L_w._W,

O

potrzeba i wystarcza, żeby był zbieżny szereg

który powstaje z poprzedniego przez zsumowanie po przekątnych. To prowadzi do warunku |*| + |>j<l. Zatem tutaj obszarem zbieżności jest kwadrat o wierzchołkach w punktach (±1, 0), (0, ±1) ustawiony ukośnie do osi współrzędnych (rys. 57).

5)    Rozpatrzmy na zakończenie następujący szereg podwójny:

00

£ *'/ — 1+ .v+x²    + ... + x" + ...

t>k

+xy+ x*y+... + x"y+ ... + xⁱy^t+... +x^my*+ ...

x^my^m+ ...

Gdybyśmy przy założeniu, że szereg ten jest bezwzględnie zbieżny, wzięli jego sumę iterowaną zaczynając sumowanie według wierszy, to otrzymalibyśmy

(I+x+x² + ...) (I+;ry+(*,>’)^ł+ ...) =

1

1

1— x \—xy

Rys. 58

Jasne jest stąd, że warunkiem koniecznym zbieżności bezwzględnej jest |jc|< 1, \xy\<l. Nierówności te są jednocześnie wystarczające. Obszar zbieżności jest przedstawiony na rysunku 58. Krzywe na tym rysunku są hiperbolami równoosiowymi.

398. Szeregi wielokrotne. Dalsze rozszerzenie pojęcia szeregu nieskończonego przebiega w zupełnie naturalny sposób. Niech będzie dany nieskończony układ liczb

«i.n.....i

ponumerowanych za pomocą s(s ^ 2) wskaźników i, k,...,/, z których każdy niezależnie od pozostałych przebiega wszelkie wartości naturalne. Wówczas symbol

^uIJk....>»

l.k.....1-1

nazywa się szeregiem wielokrotnym (dokładniej s-krotnym).