0551

553

§ 5. Przybliżone obliczanie całek niewłaściwych

Natomiast Ii obliczymy według wzoru Simpsona dzieląc przedział <0, -i > na 2n = 10 części i prowadząc obliczenia do 6 cyfr po przecinku:

y₀ = y i/i — 0 2yi    *=    0,000018

4y_lti    =    0,00022$

2y₂    =    0,000431

4y„i    =    0,002496    h    *    1,5691585

2y₃    =    0,003017    h    «    0,0016385

4y_m    =    0,012901    /    »    1,5707970

2y₄    =    0,012632

4y_9/2    =    0,046350

y_s    =    0,020239

0,098309|60

0,0016385

Prawdziwa wartość / jest równa (jak to wynika z teorii funkcji beta 529 (5a))

y = 1,5707963...

Oszacujemy błąd, nie korzystając oczywiście z tego, że możemy za pomocą innych rozważań otrzymać dokładną wartość całki. Mamy:

,,<*>(*) =    . _9 . T_ . _5_. JL ._XU2₊ ... > o ,

^Y    256    2    2    2    2

więc ę>⁽⁴⁾ rośnie z * i największą wartość osiąga dla x = j . Stąd łatwo otrzymujemy, że max <p^f*Kx) ■■ = 288.

Błąd we wzorze Simpsona wyraża się według znanego wzoru [327]

10⁴

180

A więc

R < 0,    |J?| <

(i)’

288

5

10«

10⁴ 180

Natomiast błąd otrzymanej wartości I₂, który powstał przy zaokrąglaniu, jest co do wartości bezwzględ-5•10~*

nej mniejszy mz -

60

0,2

<10~⁷. Taki sam jest bezwzględny błąd wartości I_t. Ogólny błąd jest zawarty

między - i    a więc

1,5707918 < / < 1,.5707972    lub 1,570791 <I< 1,570798.

Ostatecznie

I = l,57079+o_tooooi *

i

2) W przypadku całki / = / jr^1/2(l—.t)~³¹* dx obydwa punkty 0 i 1 są punktami osobliwymi, o

Odpowiednio dzielimy ją na dwie całki:

1 1/2 1

/= f = / + / = /1+/2.

O O    1/2

Aby obliczyć I_t przyjmujemy

g{x) =x~'» (1 +1 *+ jL x*+ JL **+    x*),