0060

61

§ 3. Ciąg monofoniczny

Uwaga. Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią; przyjmijmy x, = cy„ i zastąpmy poprzedni związek rekurencyjny związkiem następującym:

,v»+i=y«(2—cy,).

Biorąc wartość początkową >>₀ z przedziału (0,1/c) otrzymujemy, że y„ rośnie monotonicznie i dąży do 1/c. Za pomocą tego schematu liczymy na maszynach matematycznych odwrotność liczby c.

4) Niech dane będą dwie liczby dodatnie a i b (a>b). Utwórzmy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną tych liczb:

a i=-

a + b

b,=yjab.

Wiadomo, że pierwsza średnia jest większa niż druga ('); jednocześnie obie są zawarte pomiędzy wyjściowymi liczbami:

a>a_i>b_l>b.

Dla liczb a_t i b_t znowu tworzymy obie średnie:

Oi+bi    ;——

Q₁----,    02 — V ^al 01 >

przy czym

a₁>a₂>b₂>b₁

itd. Jeżeli liczby a, i b_n są już określone, toa_ItI i h„_+l określamy ze wzorów

^a«    .    /    7~

<z«+i---—.    ®«+i —

i, jak poprzednio, mamy

Qu> <*n + l>b„+ 1 >Ó_B .

Tą metodą utworzyliśmy dwa ciągi {a„} i {£>„}, z których pierwszy jest malejący, a drugi rosnący. Jednocześnie

a>a„>b„>b,

czyli obydwa te ciągi są ograniczone, a więc obydwa mają granice skończone

a=)im a„ i /?=lim b„.

Jeżeli w równości

a_n+b„

011+ 1--

przejdziemy do granicy, to otrzymamy

*+fi . , _B

a=    skąd a==?j8.

Tak więc, obydwa ciągi — i średnich arytmetycznych o„, i średnich geometrycznych b„ — dążą do wspólnej granicy    b). Idąc za C. F. Gaussem nazywamy ją średnią arytmetyczno-geometrycz-

ną wyjściowych liczb a i b. Nie możemy teraz wyrazić liczby ti{a,b) przez a i b — do tego celu potrzebna jest tzw. całka eliptyczna (por. tom drugi).

(*) Wynika to od razu z nierówności

i(a+6)-V«*=T(^a-²V^fl*+*)=l(V"-V*)²>0 <^dla «**)•