1085

ny będzie zależał ponadto od tego, czy liczba obserwacji jest liczbą parzystą czy nieparzystą. Jeżeli:

a) liczba obserwacji ,<V jest liczbą nieparzystą- mediana jest równa wartości cechy, którą posiada jednostka o numerze-:

Me = x

N_t1 2

(4.13)

b) liczba obserwacji .V jest liczbą parzystą-mediana jest średnią arytmetyczną

. .    .    ...    . _{J J}    . N . N

wartości zmiennej, które posiadająjednostki o numerach — ¹ — +1.

^XN ^{+ X}N

(4.14)

Me = -±

Przykład 4.14.

Zapytano o wiek 2 grupy osób i otrzymano następujące odpowiedzi:

•    dla grupy pierwszej: 25,32,18.22,37 lat,

•    dla grupy drugiej: 43,24,26,29,32.41 lat.

Na podstawie powyższych danych wyznacz medianę wieku w tych dwóch grupach osób.

Rozwiązanie

W grupie pierwszej o wiek zapytano 5 osób, czyli N = 5.

W pierwszej kolejności należy uporządkować dane rosnąco:

18

22

x₂

25

^X3

32

^x<

37

^X5

Mamy tutaj zatem do czynienia z szeregiem szczegółowym o nieparzystej liczbie obserwacji, wobec czego korzystamy ze wzoru 4.13.

^ ~ ^XN+1 ^— *5+1 ~ ^X6 ~ ^Xi 2 2 2

Widzimy, że x₃ = 25, wobec czego Me w tym szeregu wynosi 25 lat.

W przypadku szeregu szczegółowego o nieparzystej liczbie obserwacji wartość mediany można odczytać, wskazując wartość, która znajduje się dokładnie w środku. W naszym przykładzie jest to wartość 25 lat, bowiem przed nią znajdują się dwie obserwacje tj. 18 i 22 oraz za nią znajdują się dwie obserwacje tj. 32 i 37.

W drugiej grupie o wiek zapytano 6 osób, czyli N = 6.

Uporządkowany szereg jest następujący:

24	26
Xl	x2

29_32

x₃    x₄

41	43
*5	*6

Mamy tutaj do czynienia z szeregiem szczegółowym o parzystej liczbie informacji, wobec czego korzystamy ze wzoru 4.14.

x

Me = —

X

_ 2

2 _

x_x + x₄ _ 29 + 32

= 30,5 lat.

W przypadku szeregu szczegółowego o parzystej liczbie obserwacji wartość mediany można obliczyć jako średnią arytmetyczną dwóch środkowych obserwacji. W naszym przykładzie tj. 29 i 32. Średnia arytmetyczna z tych dwóch wartości wynosi (29+32)/2=30,5 lat.

Z przeprowadzonej analizy wynika, że wartość środkowa (mediana) wieku dla pracowników pierwszej grupy osób wynosi 25 lat, a drugiej grupy 30,5 lat (jest wyższa o 5,5 lat).

Nieco inaczej przebiega wyznaczanie mediany w sytuacji, gdy informacje o wartości cechy przedstawione są w postaci szeregu rozdzielczego punktowego. Medianę wyznacza się tutaj na podstawie częstości (liczebności) skumulowanych, które omówiliśmy w rozdziale trzecim. Mediana jest tą wartością cechy, której częstość skumulowana obejmuje jednostkę o numerze -y lub ~~~ •

Zasady postępowania przy wyznaczaniu mediany dla danych przedstawionych w postaci szeregu rozdzielczego punktowego są następujące:

1)    wyznaczamy częstości skumulowane,

2)    obliczamy numer mediany korzystając ze wzoru:

gdy N jest parzyste, gdy N jest nieparzyste,

(4.15)

3)    wyznaczamy klasę, w której znajduje się mediana, tzn. odszukujemy wartość numeru mediany Nr_Mc wśród częstości skumulowanych n_iik,

4)    odczytujemy wartość mediany.

Przykład 4.15.

Wyniki klasówki ze statystyki w klasie lla były następujące: 1 ocena niedostateczna, 3 oceny mierne, 10 ocen dostatecznych, 4 oceny dostateczny plus, 3 oceny dobre, 1 ocena dobry plus, 2 piątki i jedna szóstka. Ile wynosi mediana wyników z tej klasówki?

Przystępując do rozwiązania tego przykładu wygodnie będzie dane przedstawić w postaci szeregu rozdzielczego punktowego:

109