0066

68

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Do tej całki sprowadza się również następująca:

/    *-/[ł+f

^XA) 5 T&5T* ■ przy założeniu, że |a| > |i| albo |<zj < |ó| (—n < x<tc).

Niech nąjpierw będzie |a| > |6| i ponadto a>0, co nie zmniejsza ogólności. Podstawienie / = tg y>

tak samo jak w rozpatrzonym przed chwilą przypadku szczególnym, daje

/

dx

a+b cos x y_a²-b² Można przekształcić to wyrażenie do postaci

aro

•* (l/Hf ■‘-f)

+ C.

1    ____a cos jr+ó , ^/

arc sin——--I-C ,

y_a²—b*    n+ócosjc

przy czym znak plus bierzemy, gdy 0<x<ic, a minus, gdy — k<x<0. Wartość staiej C wzrasta przy przejściu x przez 0 o nlyfa¹—b¹.

Niech teraz |a|<|6| i 6>0. To samo podstawienie daje

/

dx

Q+bcO%X

i

2 dt

1

(ó+a)—(ó—a) r*    |/b*-a²

1

-In

l/b+a + 1ib—at

yb¹—a*

• In

^b+a -I- ]/b—a tgy*

/ó+a + ]/b—a tg-i-Jt

yb+a — |/b-at + C.

+c >

Wyrażenie to przekształca się łatwo do postaci

1    j_n 1 *"*-acos x+Vb²—a¹ sin x |

^b²—a² I    u+ócos x    |

Całka J_x^sP^rowa(^^za do poprzedniej przez podstawienie x =- -i-rtif.

. Jeśli wprowadzić kąt a

15) Do całki 14) sprowadza się wreszcie całka J spełniający warunki

b

cos a. =

Vb²+e²

dx

a-t-ócosx+csinx

sin x <

|/b²+c

to całkę można przepisać w postaci

f_dx_.

^ a+ ^b²+c²cos (x— <x)

stosujemy podstawienie r ■= x—<x. Tutaj też oczywiście ciekawe są przypadki, gdy |a)>j/ó*+c² i |al<^ó*+c*.