Ebook0

70

ROZWIĄZANIE.

Wykorzystamy Twierdzenie 3.1.

a) Dla x —* 0+ mamy ~ -♦ -t-oo. Zatem na podstawie (3.10) otrzymujemy

lim arctir -_r £. x-«o+ •^c

Dla x —* 0 mamy ^ —* -oo. Zatem na podstawie (3.11) uzyskujemy lim aretg J

I—«o^-

Ponieważ granice jednostronne są różne, więc granica lim aretg ^ nie isi nieje.

I>) Dla x —♦ 5 ¹ mamy tg a: —* —oo. Zatem, wykorzystując równość (3.0), mamy lim 8^tKX = 0.

Dla x —♦ 5 mamy tg:r —* -foo. Zatem, wykorzystując równość (3.7), mamy lim 8^tKI = -t-oo.

c) Dla granicy prawostronnej i lewostronnej mamy odpowiednio

d) Można zauważyć, że

lim

x—i x - I

-oo.

Na podstawie odpowiednio równości (3 7) i (3.6) rnarny

/"• 'Mii granica lim    nic istnieje.

X i

••i Ponieważ lim z — -ł-oo, więc lim —--r = 0, na podstawie równości x—0+ ¹    *-0+ 2+4 >

(Hi).

i nleważ lim i = -oo, więc lim —*-r = i. na podstawie równości (3.7).

x—o- ^x    I-O" 2+4 r ^Ł

• Jiniilee jednostronne sa różne, więc granica lim —^-y nie istnieje.

i—o 2+4 »

i Korzystamy z. definicji wartości bezwzględnej, i " i : — 1 mamy |x 4- 1| = X -t- 1. Zatem

lim

I*-Ml

lim

x 4- 1

lim

1

#- i+3x² + 4x+l i—1+ (3x 4- l)(x 4- 1)    x—-i+ 3x4-1    2

l)lłX < — 1 mamy |x 4- 11 = -(x 4- l). Zatem

lim

1x4- II

lim

-(x+ 1)

= lim

-1

1

. i- 3x'² 4- 4x 4- I x--i- (3x 4- l)(x 4- 1)    i—-i- 3x 4- 1

•    mieważ granice jednostronne są różne, więc granica lim    i i ⁿ*^e

Hlnloje

r) Na podstawie równości (3.12) i (3.13) mamy

lim xarcctg — = 0,

1—0+    x

lim x arcctg - = 0 • n — 0. i-o-    x

/•dem lim xarcctg ~ = 0. i- .o    ^z

i*HZYKbAI) 4. Obliczyć granice:

•o

UOZWIĄ/ANIB.

l-²

X X⁷ ^ X* X* _ 1

lim

lim

•    ) Dzielimy licznik i mianownik przez x⁴ i mamy x⁴ - 2x^:» - 3x² + l()x - 8

i—4oo x⁴ - 4x² — 5x 4- 10    *—+oo    l -    4- i}