Ebook2

94 Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jego zastosowaniu

Na podstawie definicji pochodnej funkcji / w punkcie zo otrzymujemy

f'(xo) = lim    = lim (y/S-y/^Ky^jt_V^) ₌

1₀ x - xo    x—1₀    (a: - xo)(\/^ + v/xó)

_r    x-x₀    1    1

x-xo [X - Xo)WX + y/x^) x^x_0y/x+^/xź 2y/xó

Zatem dla x G (O, -ł-oo)

/'(*)

1

2y/x

b) Niech xq / —4. Wtedy

g'{x o)

i

x-f4

lim

X—*X0    X — Xq

1

xq+4

= lim

X—*Xo

xq-H—x—4 (x+4)(xq+4)

X — Xq

~(x ~ X₀)

x-*x₀ (x 4- 4)(x₀ + 4) (xq + 4)²

lim    _

x-x₀ {x + 4)(x₀ + 4)(x - x₀)

lim    ^_1    1

Zatem dla x ^ -4 mamy g'{x) =

PRZYKŁAD 4. Korzystając z definicji, obliczyć /'(6) dla f(x) = £±1.

ROZWIĄZANIE.

Mamy Df = R\ {0}. Na podstawie Definicji 4.1 mamy

/'(6)

lim

x—*6

/(*) - /(6)

x — 6

lim

x—*6

x±l _ 7 _x_6 _

x — 6

6x+6—7x 6x

X - 6

lim

x—*6

..    6 — X

lun —7--

x—>6 6x(x — 6)

, -1 lim ——

x—*6 OX

Przypomnimy teraz wzory na pochodne ważniejszych funkcji ciemni tarnych.

i i UOliczantc pochodnych funkcji

(c)' =	0,	gdzie	c e R
w =	px^p~^1,	gdzie	p € R
(sinx)' =	cosx	dla	x E R
(cosx)' =	— sin x	dla	x E R
(tg*)' =	i COS^2 X	dla	x / f + /c7r, gdzie/c E Z
(ctgx)' =	1 sin^2 x	dla	x ^ kir, gdzie k E Z
(arcsinx)' =	1 v/l-x2	dla	x E (-1,1)
(arccos x)' =	1	dla	x E (-1,1)
	\J 1 _
(aretg x)' =	1 l+x^2	dla	x E R
(arcctgx)' =	1 l+x^2	dla	x E R
(a^xy =	a^x ln a	dla	0 < a / 1 oraz x E R
(e^xy =	e^x	dla	x E R
(loga =	i x ln o	dla	0 < a ^ 1 oraz x E (0, +oo)
(lnx)' =	1 X	dla	x E (0, +oo)

¹ n/.YKŁAD 5. Wykazać słuszność wzoru sin'(xo) = cosxq dla xo ^

'"•/WIĄZANIE.

- podstawie definicji pochodnej funkcji / w punkcie xo oraz wzoiu

x-y x+y

sin x — sin y = 2 sin —-— cos-

^J 2 2

Niymujeiny ulu '(aro) = lim

X—*X(

— lim

sin x — sin xq x—xo x — Xq sin ^2*

, 2sin^cos^

lim ---*— =

x-*x₀    x — Xq

.....    _x_2- ■ cos ^2 y i. _cos £i±£° = cos 10 ■

X—xo 3L^fl    2    2

..    sinx —:

Ir IiiIuJhcu oznaczonym symbolem (*) skorzystaliśmy z granicy x

• KŁAD 6. Obliczyć pochodne funkcji: - ^x⁴ — \x³ + 4x² — 5, jłi + 4 \/x -    ,

*

' ² will X

nwi-f 5>