str205

§ I. WIADOMOŚCI OGÓLNE 205

Z zależności (4) wynika, że F(0) = — G(0). Podstawiając wyznaczone funkcje Fi G, (4), do zależności (3), otrzymujemy szukane rozwiązanie równania (1) spełniające warunki (2)

u(x, y) = x^s+xy+y².

Zadanie 1.5. Wyznaczyć rozwiązanie u(x, y) równania

(1)

d²u    ₂du

--3x² — = 0,

dxdy dy spełniające następujące warunki:

(2)    u(x, 0) = 5x⁴+x²,    u(0,y) = 3y³.

Rozwiązanie. Całkujemy obie strony równania (1) względem zmiennej y, skąd mamy

(3)

du ,

a--3x U = (p(x),

ox gdzie ę(x) jest dowolną funkcją całkowalną jednej zmiennej. Równanie (3) rozwiązujemy metodą uzmienniania stałej postępując jak z równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym (patrz zad. 1.3). Rozwiązaniem ogólnym równania uproszczonego

(4)

jest funkcja

(5)

du ,

--3x²u =0

dx

u(x,y) = A(y)e^x\

Obecnie uzmicnniamy względem x wyrażenia A(y) występujące w zależności (5), tzn. postukujemy takiej funkcji B(x, y), ażeby funkcja

(6)

u(x,y) = B(x,y)e^x

spełniła równanie (3). Różniczkujemy wyrażenie (5) względem zmiennej x i pochodną wraz z funkcją (5) podstawiamy do równania (3)

— e^x3 + B3x²e^x>-3x²Be^x’ = <p(x) ox

i stąd otrzymujemy zależność

^dB

— =(p(x)e ox

(7)

Obecnie całkujemy obie strony zależności (7) względem zmiennej x

(8)    B(x,y) = ]<p(t)e~^,ydt + A(y).

O

Podstawiając funkcję B(x, y) do zależności (6), otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania (3), a zatem i równania (1). Jest to funkcja następującej postaci:

(9)

u(x,y) = ](p(t)e^x* '⁵dt + A(y)e^x>.