str227

JO § 3. RÓWNANIE LAPLACE’A 227

JO § 3. RÓWNANIE LAPLACE’A 227

siego, a warunek brzego-Neumatma lub warunkiem ładnieniu mieszanym nosi

Zadanie 3.3. Wyznaczyć funkcję T(r) opisującą ustalone pole temperatury w wydrążonej kuli a<r<b, jeżeli temperatura powierzchni r = a równa się zero, natomiast powierzchni r = b wynosi T₀>0. Obie podstawy rozważanego walca pokryte są idealną izolacją.

Rozwiązanie. Funkcja T{r) spełnia równanie Laplace’a (3.5), które w danym przypadku przybiera postać

statycznego wytworzonego punktach M,(xj, y_y, z,),

3) w całej przestrzeni poza ńnację liniową potencjałów

z-z,)²

nego w przestrzeni a<r<b rodkowych, jeżeli potencjał przy czym V_a ź V_b. w danym przypadku przy-

(1)

d²T 1 OT

~d? ⁺7’ Tr

= 0.

Funkcja T(r) spełnia ponadto następujące warunki brzegowe:

0)    T(a) = 0, T (b) = T₀.

Rozwiązaniem ogólnym równania (1) jest funkcja (3)    T (r) = zl + jB ln r.

Z warunków (2) wyznaczamy stałe A i B

T₀ ln a    T₀

~~i‘ ^B=~i-

ln —    In —

a¹    a

po uwzględnieniu których w zależności (3) otrzymujemy funkcję opisującą szukane pole temperatury    .

ln-

T(r)=T₀

a

b

ln — a

Zadanie 3.4. Wyznaczyć funkcję Greena dla górnej półprzestrzeni z>0. Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (3.13) funkcją Greena równania Laplace’a w przestrzeni jest następująca funkcja:

(1)    G(A,B) = ~ + g(A,B).

r

Wyznaczamy funkcję g(A, B) o podanych w definicji 9 własnościach. Niech M będzie punktem symetrycznie położonym do punktu A(x,y,z) względem płaszczyzny z = 0 (patrz rys. 4.7). Punkt M ma współrzędne x, y, — z. Odległość punktów A(x,y,z) i    oznaczmy przez r, natomiast punktów B i M przez g, tzn. że

r = V(x-<D²+(y-ą)²+(z-0²,

(2)    ___

ujemy szukaną funkcję

_e = V(x-«S)²+(y-ą)²+(z+O².

Szukana funkcja Greena ma następującą postać:

(3)    G(zł,B) = i~i

15*