str235

8 5. RÓWNANIE FALOWE 235

Przedstawione na rysunku 4.9 wykresy można traktować jako profile nieskończenie długiej

a a 3a

struny w chwilach t = 0, —,    .

2c c 2c

Zadanie 5.2. Wyznaczyć rozwiązanie równania fali płaskiej (5.14) spełniające następujące warunki początkowe:

u (x, 0) = sin 3x,

Rozwiązanie. Dla wyznaczenia funkcji u(x, t) korzystamy ze wzoru d’Alamberta

(5.21)

X + Ct

u(x, t) = ^[sin3(x —et) + sin3(x-bet)]-    1³dri,

skąd po obliczeniu całki i wykonaniu prostych przekształceń otrzymujemy

u(x, t) = sin 3x cos 3c/+(x² + c²t²)tx.

Zadanie 5.3. Wyznaczyć funkcję u{x,y,t) spełniającą równanie

d²u d²u    1 d²u

dx^{2 +}dy²    4 dt²

oraz następujące warunki początkowe:

u(x,y,0) = x² + y²,    = x + y.

Rozwiązanie. Dla uzyskania funkcji u(x,y, ł) korzystamy ze wzoru Poissona (5.19)

x+y + e (cos (p + sin (o)

o o

2n 2r

(x + q cos (p)² + (y + 0 sin <p)²

o o

dadcp ,

skąd po obliczeniu całek mamy

u(x,y,f) = (*+y)f+-[(x²+y²H+4t³],

Ot

u(x, y, t) = x² + y² + 8f² +(x + y)t.

Zadanie 5.4. Wyznaczyć rozwiązanie u(x,y,z, t) równania falowego