img453 (2)

Na podstawie ostatniego przykładu możemy wyciągnąć jeszcze jeden ciekawy wniosek. Jak łatwo stwierdzić, funkcja f(x) = |x| jest ciągła w punkcie x₀ ^: 0. Prml chwilą wykazaliśmy, że nie jest różniczkowalna w tym punkcie. A więc wnosimy stąi I, że funkcja może być w pewnym punkcie ciągła, ale nie musi być tam różniczkował na, czyli z ciągłości funkcji w pewnym punkcie nie wynika jej różniczkowalność. Powstaje pytanie, czy z różniczkowalności funkcji w punkcie wynika jej ciągłość? Otóż tak jest.

Tg TWIERDZENIE 1.

Jeżeli funkcja /, określona w pewnym otoczeniu punktu x₀, jest różniczkowalna w tym punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

Dowód.

Zauważmy, że dla x * x₀ mamy:

f(x) =    (*-*o) + /(*o)-

Oznaczmy teraz h = x - x₀. Z założenia h & 0. Zatem x = x₀ + h i x —» x₀, tylko wtedy, gdy h -» 0. Otrzymujemy:

/(*o + /,) = ffa+Pl-Ji*o) _h + _/(Xo),

a stąd

■ lim f(x₀ + h) = lim

*—>0 ^ ^u '    h->O

Im /(x)

A

Z założenia o różniczkowalności funkcji / w punkcie x₀ wynika, że istnieje granica lim_o    i jest _{ona r}ówna /'(x₀).

Ponadto lim h = O i lim /(x₀) ~ /(x₀) (bowiem f(x₀) nie zależy w ogóle od h).

h—> O    h—>0

Ostatecznie zatem:

lim f(x) = lim /(x₀ + h) - lim

x—>x₀    h—>0    h—>0

n*o ⁺ *l~m_h+m

= /'(*o) • O + /(x₀) = /(x₀),

co oznacza ciągłość funkcji / w punkcie x₀. Dowód został zakończony.

twierdzenia 1. wynika oczywisty wniosek.

I08IK

Jp/n|| funkcja /, określona w pewnym otoczeniu punktu x₀, nie jest ciągła W punkcie x₀₎ to nie jest różniczkowalna w tym punkcie.

HlYKIAD 3.
/badajmy różniczkowalność funkcji:
fx^2 + 2	dla x < 1
») /W = \ x ~ 3	rlla v > 1 ^W P^unkcie Xo = li
L x + 1
[-*	dla x < 0
b)/(x) = \	w punkcie x0 = 0.
	dla x > 0

Ail a) Łatwo zauważyć, że funkcja ta nie jest ciągła w punkcie x₀ = 1 (sprawdź!), /rtlrm nie jest różniczkowalna w tym punkcie (ostatni wniosek).

Ad b) Ta funkcja jest ciągła w punkcie x₀ = O (sprawdź!). Obliczamy teraz pochodną:

lim

h^> o

+

f(Q + h)-f(Q) h

= lim

Aj—>0

+

h

lim ,

h-*0*

— +00.

W tym momencie możemy już stwierdzić, że ta funkcja nie jest różniczkowalna W punkcie x₀ = O, nie istnieje bowiem jej pochodna prawostronna w tym punkcie.

Przekonaliśmy się, że przed badaniem różniczkowalności funkcji w pewnym punkcie wygodnie jest zbadać jej ciągłość w tym punkcie i zobaczyć, czy można zastosować ostatni wniosek.

J 9 - x² dla x < 3 |^ax + b dla x > 3

MZYKtlH.

Czy można dobrać stałe a i b tak, by funkcja /(x) była ciągła i różniczkowalna w punkcie x₀ = 3?

Obliczamy

lim J(x) = lim_(9-x²) = O,

lim₊/(x) = lim ₊ (ax + b) = 3a + b, /(3) = O.