skanowanie6 (3)

2.10.    Wyznaczyć równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach postaci y"+py' ~ęy m 0, jeżeli podane są pierwiastki ich wielomianów charakterystycznych:

a) A! = 1 + VSi;    b) Ai = Aj = -2;    c) A, = 2, Aj = 8;    i) ■ i.

2.11.    Wyznaczyć równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach postaci y^w+py'+ęy = 0, jeżeli podane funkcje wchodzą w skład ich układów fundamentalnych:

a) cos2t;    b) te"‘;    c) c²*, e^ał, gdzie o = 2;

d)e“‘sinl; e) I;

2.12.    Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach:

a) 6y" - W + V = 0;    bf y" - y* - 2y = 0;    c) 4y" - 4y + y = 0;

d)y"+y' + ! = 0;    •)y"-4y' + 5y = 0;    f) y"-2y' + 5y-0;

gJ^+G^+lSy-O: h) 7y^w + 4y'-3y-0; i) y" - 6j/ -|- Dy ■ 0.

2.13.    Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:

o)y^w + y'-6y = 0_ł y(0)-1,^(0) = 0;    b)y" + 9y-0, V(f) -1**'(f) = U

c) / -2y' + y = 0, y(l)=2,y'(l) = 3;    d) y" - 7y' + 12y = 0, y (0) =3,✓(O) = -2.

2.14.    Punkt materialny o masie m porusza się po prostej łączącej dwa centra i jest przyciągany przez nie z siłą wprost proporcjonalną do jego odległości od każdego z nich. Współczynnik proporcjonalności jest równy k > 0, a odległość między centrami wynosi 26. Znaleźć równanie ruchu i rozwiązać je wiedząc. U w chwili początkowej (to = 0) punkt znajdował się w odległości xo od środka linii łączącej oba centra i miał serową prędkość.

2.13. W obwodzie elektrycznym połączono szeregowo cewkę o indnkcyjnośd L [H] oraz kondensator o pojemności C [F]. Wyznaczyć natężenie prądu / [A] w tym obwodzie jako funkcję czasu

Lista ósma_________

* 2.16. Wyznaczyć te wartoad parametru a € R, dla których zagadnienie brzegowe y* + oy = 0. y(0) = y(2»). ^(0) = y*(2r)

ma niezerowe rozwiązanie.

2.17. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych liniowych niejednorodnych. Wyznaczyć rozwiązania ogólne tych równań lnb zagadnień początkowy^:

a)    y'^, + 10y' + 2óy-4e-“, tfł) = &e-*i

b)    y" + 4y-sm2i, sKO “ - jtcoałfc

e) y" - y* - 2y - 41- 2c*. _v{i) - 1 -21 + e*, y(0) -0,/(O)-1;

824

162

2.18. Sprawdzić, że fonkga ?(!) -2 + g«*(«nt + coaf) jeat rozwiązaniem równania różniczkowego

V ♦ 3y' + 2y-4 + 2e*c*»t.

7p.ua* rozwiązanie, które spełnia warunek ^ lim y(C) w 2.

2-19. Zakładając, te podane funkcje są rozwiązaniami równania liniowego niejednorodnego y*+p(0y'+?(*)* * A(f!. wyznaczyć rozwiązanie ogólne tego równania łab rozwiązać itgadńirnit pirr-rątlTS.

a)    Siei. *(<)«(«•( +SItfni»(t) ■ (1 + ólje”* ato f;

b) *(<)■** cos t+f* sin t v(l)=(l+f)a»r+r^s«nr. n(l)«teo6H.(l+t*)ainl, y(0)«l. ^(Oj^O.

6