skanuj0001 (429)

Ą.l. Ciągi liczbowe i ich granice 63

Zatem ciąg (l + ^)ⁿ jako ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.

Istnieje więc liczba rzeczywista, która jest granicą tego ciągu. W poniższej definicji wprowadzone zostanie oznaczenie dla tej granicy.

Definicja 4.25. e = lim (l + J-)ⁿ.

n—>oc ^v    ny

Wartość liczby e, która jest liczbą niewymierną, wynosi w przybliżeniu 2,718281828459. W przykładzie 6.42 zostanie pokazane, w jaki sposób można wyznaczyć to przybliżenie.

Na początku rozdziału podano definicję zbieżności ciągu do pewnej liczby rzeczywistej. Znaczyło to, że prawie wszystkie wyrazy ciągu leżały blisko zadanej liczby. Poznajmy teraz definicję zbieżności do nieskończoności.

Definicja 4.26.    (1) Mówimy, że ciąg (a_n)^L_l:a_n € M jest zbieżny do +oo

1 piszemy

(4.5)

(2) Mówimy, że ciąg (aj^,^ G M jest zbieżny do — oc i piszemy

(4.6)

lim a_n = —oc <=> \/xeK ^m<=r V_n>M ^an < K.

Analitycznie definicja zbieżności do nieskończoności oznacza, że dla dowolnie zadanej liczby K wszystkie elementy ciągu poza skończoną ich liczbą znajdą się w przedziale (K,+ oo).

Przykład 4.27. Ciągami zbieżnymi do +oc są ciągi: n²,    a ciągami

zbieżnymi do -00 są — n³, ypr

Uzasadnijmy, że lim n² = +00. Weźmy dowolne K 6 R. Jeśli K ^ 0,

to bierzemy M — 0. Wtedy, jeśli n > M = 0, to n² > 0 ^ K. Jeśli K > 0,

to bierzemy M = y/K. Jeśli n > M = y/~K, to n² > K, co pokazuje warunek (4.5) dla ciągu n².

Teraz przekonamy się, że    —oc. Weźmy dowolne K € M. Wtedy

dla n ^ 2 mamy:

Warunek -\n < K jest równoważny n > —4K. Określmy M = —4K. Wtedy

dian > M = -4JĆ mamy iT > —    >

ciągu został spełniony.

1—n²

l+n

Zatem warunek (4.6) dla naszego