str042 (5)

42 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Wyznaczyć składowe K_x i K_y wektora natężenia rozważanego płaskiego pola elektrostatycznego wiedząc, że wektor K w postaci zespolonej określony jest następującym wzorem:

K = K_x + iK_y = -i w'(z).

Rozwiązanie. Obliczamy pochodną funkcji w(z)

skąd po dokonaniu odpowiednich przekształceń mamy

w

{x-x₂)² +(y-y₂)² (x-x_l)²+(y-y₁)ⁱ⁺

Mając na uwadze, że K = —iw'(z), możemy obecnie napisać wzory określające składowe K_x i K_y natężenia pola

Zadanie 5.4. Wyznaczyć potencjał zespolony pola elektrostatycznego wytworzonego przez dipol punktowy o momencie p umieszczony w punkcie z, = 0 oraz wektor natężenia tego pola.

Rozwiązanie. Potencjał zespolony układu dwóch elektrycznych różnoimiennych ładunków ±q umieszczonych w punktach z, = 0 i z₂ = —k (A:>0) wyraża się wzorem

Jeżeli w powyższym wyrażeniu uwzględnimy fakt, że moment danego układu ładunków p — qk, to otrzymamy

Obecnie wyznaczamy granicę funkcji w>(z) dla k-*0, przy założeniu, że p = qk = const. W granicy otrzymujemy potencjał zespolony F(z) punktowego dipolu elektrycznego o momencie p umieszczonego w początku układu współrzędnych