img0057

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

■

ROZKŁAD NORMALNY

Zmienna losowa ciągła X ma rozkład normalny o wartości średniej M i odchyleniu standardowym o, co symbolicznie zapisujemy N(p,a), jeśli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

/(*) =

exp

ZADANIE 1

Wzrost dorosłych mężczyzn w Polsce podlega rozkładowi normalnemu N(172,9). Należy przedstawić graficznie postać funkcji gęstości tego rozkładu, a także przy a = 6cm i 3cm.

Zakres zmiennej losowej X ustalić na podstawie reguły trzech sigm.

ZADANIE 2

Przedstawić graficznie funkcję gęstości i dystrybuantę rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1). Dystrybuanta tego rozkładu w programie MathCAD nosi nazwę cnorm().

ZADANIE 3

Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej p = 5 i o = 2 -N(5,2). Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń:

P(X<3), P(6<X<9), P(3<X<6).

ZADANIE 4

Przyjmuje się, że średnica zewnętrzna wykonywanych wałków stalowych ma rozkład zbliżony do normalnego o średniej 23mnt i odchyleniu standardowym 0.6mm tj. N(23.0,0.6). Za dopuszczalne uznaje się wałki o średnicach23.1 ± Imm.

Wałki o średnicach mniejszych od dolnej granicy uznaje się za złom, wałki o średnicach wyższych od granicy górnej przeznacza się do obróbki powtórnej.

Proszę odpowiedzieć na następujące pytania:

a.    Jaki jest procent złomu?

b.    Jaki procent produkcji wymaga powtórnej obróbki?

c.    Jaki będzie procent złomu i procent detali wymagających powtórnej obróbki, jeśli zmienić średnią średnicy zewnętrznej na 23.1mm?

ZADANIE 5

Automat produkuje kulki. Kulkę uważa się za prawidłową, jeśli odchylenie X średnicy kulki od projektowanego wymiaru jest mniejsze co do wartości bezwzględnej niż 0.7mm. Zakładając, że zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu ze średnim odchyleniem standardowym cr = 0.4mm, należy obliczyć, ile będzie kulek prawidłowych wśród 100 wyprodukowanych.

ZADANIE 6

Automat produkuje detale. Sprawdzamy długość detali. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej (długość projektowana) równej 50mm. W rzeczywistości długość detali jest nie mniejsza niż 32mm i nie większa niż 68mm.

Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że długość losowo wybranego detalu jest:

a.    większa niż 50mm;

b.    mniejsza niż 40mm.

ZADANIE 7

Dokonuje się pomiaru średnicy wału bez błędów systematycznych. Błędy losowe pomiaru X podlegają rozkładowi normalnemu z odchyleniem standardowym a = lOmm. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że pomiar będzie przeprowadzony z błędem przekraczającym (co do wartości bezwzględnej) 15mm.