img011 (53)

17

nienie algorytmów uwzględniające rzadkość macierzy jest często w przypadku analizy wielkich układów warunkiem realizowałności obliczeń.

2.1. Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa należąca do podstawowych metod rozwiązywania układów równań liniowych polega na przekształceniu rozwiązywanego układu równań (2.1), (2.3) w równoważny układ równań liniowych o macierzy współczynników mającej postać macierzy trójkątnej górnej, to znaczy macierzy, w której wszystkie elementy położone poniżej przekątnej głównej są równe zero. Równoważność przekształconego układu równań jest rozumiana w sensie posiadania przez układ przekształcony takiego samego rozwiązania, jak układ wyjściowy (zakłada się tu, że dany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie). W drugim etapie rozwiązywany jest otrzymany układ równań o macierzy trójkątnej górnej, równanie po równaniu rozpoczynając od ostatniego równania. Każde z rozwiązywanych równań staje się w kolejnym kroku równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Otrzymane współrzędne wektora rozwiązania są identyczne jak współrzędne wektora rozwiązania danego układu równań.

Opis algorytmu metody eliminacji Gaussa [6, 7,8,19]

Dany jest układ równań liniowych (2.1), (2.3). Zakłada się, że det A ^ 0. Algorytm eliminacji Gaussa wyznaczania rozwiązania układu równań (2.1), (2.3) składa się z dwóch etapów. W pierwszym etapie eliminacji w przód dany układ równań zostaje przekształcony w równoważny układ o macierzy współczynników mającej postać macierzy trójkątnej górnej. Działania elementarne wykonywane na układzie równań w kolejnych krokach tego etapu nie zmieniają rozwiązania przekształcanego układu równań [6, 7, 8]. W drugim etapie podstawiania wstecz rozwiązywany jest otrzymany układ równań o macierzy trójkątnej górnej.

Etap eliminacji w przód

Niech indeks k, k = 0, 1,2,    1, oznacza numer kroku etapu eliminacji w przód,

przy czym indeks k = 0 wprowadza się dla kroku k = 0, w którym zadany zostaje układ równań, w celu ujednolicenia zapisu. Niech A^[kH) i Z>^(ł+1), k = 0, 1,2, •••,«- 1, oznaczają macierz współczynników i wektor wyrazów wolnych otrzymane w kroku k etapu eliminacji. Z uwzględnieniem indeksu numerującego kolejny krok zadany układ równań zapisuje się w postaci

(2.9)