MATEMATYKA033

58 II. Ciągi i szeregi liczbowe

W szczególności ciągi rosnące i malejące nazywamy ściśle monofonicznymi, a nicmalcjącc i nierosnącc - słabo monotonicznymi.

def

(a_n) jest ograniczony z dołu o V A a_n t m,

m.R n» N dof

(a_n) jest ograniczony z góry \/A a<M.

KUR MN

Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym, gdy jest on ograniczony z dołu i z góry , Izn

def

(aj jest ograniczony o V A m£a_n$M,

n\M*?R nrN

lub

d*f .    . -

(a ) jest ograniczony O V A |a_|<M

MiO ncN

PRZYKŁAD 1.1

a)    Ciąg o wyrazie ogólnym a_n = n² jest rosnący, gdyż n” < (n+ l)² dla n g N. Ciąg ten nic jest ograniczony z góry, ale jest ograniczony z dołu, gdyż n^: > 1 dla n eN.

b)    Ciąg o wyrazie ogólnym a_n =(-l)ⁿ nic jest monotomczny. Ciąg ten jest ograniczony, gdyż |a_n|=|(-l)ⁿ|< I dla n gN.

c)    Ciąg o wyrazie ogólnym a_n = (-2)ⁿ nic jest monotoniczny i nic

jest ograniczony (ani z dołu, ani z góry),    ■

PRZYKŁAD 1.2 Zbadamy monotoniczność ciągu o wyrazie

3“

ogólnym a_n = —. Obliczamy różnicę:

3"'¹    3"    n3ⁿ*' -(n +1)3“ 3°(2n-1)

^a»»i ^-an “ _{n +} | “ _n ⁼ n(n + I) “ n(n + l) '

Ponieważ a_n-1 -a_n >0, czyli a_nil >a_n dla każdego n gN, więc ciąg 3"

(—) jest rosnący.    ■

n

PODCIĄG CIĄGU. Podciągiem ciągu (a_n) nazywamy każdy ciąg (a_Łn), gdy (k_n) jest dowolnym rosnącym ciągiem liczb naturalnych.

Dla ciągu (a_n) podciągami są np. ciągi;

^a:»^a4.a_A.....

^a,*^a7*a„₁a_M,a₎,,...,

nalomiasl ciąg

®|»^ai»^a5»^a5i'»*

nic jest podciągiem ciągu (a_n).

CIĄGI ZBIEŻNE I ROZBIEŻNE Wszystkie nieskończone ciągi liczbowe można podzielić na ciągi zbieżne i ciągi rozbieżne. Ciągi /bieżne są to te ciągi liczbowe, które mają właściwą (skończoną) granicę. Przypomnijmy definicję granicy właściwej ciągu;

lima_n=a o AVA |a_n-a|<K,

- - ^B    b>0 K n>K

czyli

ciąg (a_n) ma granicę właściwą a, gdy w dowolnym otoczeniu liczby a znajdują się prawic wszystkie wyrazy tego ciągu (prawie wszystkie tzn wszystkie z wyjątkiem skończonej ich liczby ).

Definicję tę można również odczytać następująco;

ciąg (a_n) ma granicę właściwą a, gdy wyrazy ciągu o

dostatecznie duży ch numerach n różnią się od liczby a dowolnie mało.

Na przykład ciąg (l/n) jest zbieżny i ma granicę 1, a ciąg (2-l/n) jest zbieżny i ma granicę równą 2.

Ciąg (a_n), który nic jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym Wśród ciągów rozbieżnych wyróżnia się ciągi, które mają granicę niewłaściwą +oo lub -x. Przypomnijmy definicje tych granic:

lim a = +oo o AV A a_n>M,

i»-»er    M K n>K lim a. = “<3o oAVA a <M.

ri    M K n>K

Na przykład ciąg (n²) jest rozbieżny i ma granicę równą +*. ciąg (3-n) jest rozbieżny i mn granicę równą —Natomiast ciąg ((-I)" n) jest rozbieżny i nic ma żadnej granicy.