MATEMATYKA034

60

A. Gqgi i szeregi liczbowe

lim a" =

Przypomnijmy, źe

nic istnieje dla a£-l»

0    dla    |a|<l,

1    dla    a=l,

+oo    dla    a > 1,

lim n" =

n yfi

0    dla a<0,

1    dla a * O, +oo dla a>0.

Stąd wynika, że ciąg geometryczny (aq^{n 1}) jest zbieżny jedynie wtedy, gdy a = O lub q € ( -1,1 >.

Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych. W dalszym ciągu będziemy wykorzystywać twierdzenia:

TWIERDZENIE 1.1 Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg

Jeżeli więc ciąg zawiera podciąg rozbieżny lub podciągi zbieżne do różnych granic, to ciąg ten jest rozbieżny.

Na przykład ciągi

2-9 2-2    1 — 2—3

są rozbieżne, gdyż pierwszy ciąg zawiera podciągi 2,2,... oraz -2, -2,... zbieżne do różnych granic, zaś drugi ciąg zawiera podciąg (n) rozbieżny.

TWIERDZENIE 1.2 Ciągi różniące się skończoną liczbą wyrazów są jednocześnie zbieżne (i wtedy mają tę samą granicę) lub jednocześnie rozbieżne.

TWIERDZENIE 1.3 Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Twierdzenie odwrotne jest fałszywe Na przykład ciąg o wyrazie ogólnym a_n = (-l)ⁿ jest ograniczony, ale nic jest zbieżny.

TWIERDZENIE 1.4 Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.

TWIERDZENIE 1.5 (o granicy trzech ciągów). Jeżeli

VA a„sc„<;b_n

K n>K

oraz

lima_n = lim b_,

1. Ciągi liczbowe

tu istnieje granica ciągu (c_n), przy czym

limc_n = lima_n = limb_n .

n-*oo n-*®    n-*»

n- **o

TWIERDZENIE 16 Jeżeli lima_n = a i limb_n-b*^t0

(1)    lim(a„±b_n) = a±b,

n->«o

(2)    lim(a_#• b_n) = ab.

(3) lim ^    , przy założeniu, że b * 0 oraz b_n * 0 ^{d,a n e} N

n-*«> b b

TWIERDZENIE 1.7

(1) limy/a = l dla każdego a > 0,

(2)    lim y/n = 1,

n-»«>    _

(3) (a_ £ 0, n e N a lim a = a> 0) -=> lim = 1 Dowód (2). Zauważmy, że ^>1 dla każdego neN.

Zatem

Vn = 1+a_n, a_n >0.

Stąd

Ponieważ wszystkie składniki prawej strony są nieujemne, więc

^ns(sH'O^a"⁼ⁱ⁺lⁿ⁽ⁿ'^i)a"-

a zatem

Stąd i z warunku a_n £ 0 otrzymujemy:

Oś