MATEMATYKA160

310 VI Ciągi i szeregi funkcyjne

obliczenia sumy pewnych szeregów liczbowych. Zilustrujemy to przykładami.

PRZYKŁAD 3.2

<r>

a) Szereg £x" jest zbieżny jedynie dla xe(-I,I) (jako szereg

n ’l

geometryczny), a jego suma jest równa S(x) £xⁿ=-p— dla x €(—1,1).

- x

, czyli

Różniczkując len szereg wyraz po wyrazie otrzymujemy

Źⁿx" '=^r dla xe(-l,I)

W szczególności, przyjmując kolejno x= 1/2, x = -l/2, x = 1/3, mamy:

yJL₌₄    yJL₌2.

^f    O’    on-l A'

n=l

n I

Całkując szereg £xⁿ wyraz po wyTazie otrzymujemy

nl    . •

^]|xⁿdx = Jy^-dx dla x €(-lj),

B=l 0

czyli

n»l

Ś^Tx"*'=-x-ln|l-x| dla x e(-l.l).

Ponieważ ten ostatni szereg jest zbieżny także dla x = -l, więc z własności (4) wynika, że ostatnia równość zachodzi na przedziale <-l, 1) Stąd

n*<>

W szczególności dla x — — I otrzymujemy

* /    i\n+1

n 1

^lnl¹-^xl=-Ż^i=-Ż^ dla xe<-l,l)

n O

czyli

PRZYKŁAD J.3. Szereg £(-l)V" - £(-x^!)" jest szere-

gicm geometrycznym (a = l,q=-x²). Zatem

Ż(-^,)V"=rr?- ^xe(-^U)

n 0    ' *■ X

Stąd i z własności (3) o całkowaniu otrzymujemy

nO    ¹

Ponieważ ten ostatni szereg jest zbieżny również dla x = 1 i x = -1, to z własności (4) wynika, że

Źf-¹)"—rx^:"-^|=a^rc,gx, xe<-1,1>.

2ihT

W szczególności dla x = 1 otrzymujemy

■ii

n=0

Y(-l)ⁿ—{—₌2E

' 2n+l 4^r

n O

czyli

4*3    5 7

Szereg taylora, szereg maclaurina załóżmy,

że funkcja f jest klasy C*⁵ na pewnym otoczeniu U(x₀) punktu x₀ i niech x należy do tego otoczenia

Szeregiem Taylora funkcji f nazywamy szereg

(3.2)

n!

W szczególności, gdy x₀ = 0, szereg

(3.3)

noi_vn

Yi—\ A n!

n 0

nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.