MF dodatekA21

266 Podstawy matematyczne Aneks A

gdzie

266 Podstawy matematyczne Aneks A

^ak =

f^(k)(*o)

k!

dla k=0,1,2_____n-1

A(5.5)

Liczbą IR_n(x)l nazywamy błędem tego przybliżenia. Przybliżenie A(5.4) często wykorzystujemy w praktyce. W wielu bowiem przypadkach (np. funkcji e^x, In x) nie jesteśmy w stanie wyliczyć bezpośrednio wartości funkcji f(x) przy użyciu czterech podstawowych działań arytmetycznych.

Z rozwinięcia Maclaurina funkcji e^x otrzymujemy:

n-1

1!    2!    (n-1)!

+ R_n -

A(5.6)

gdzie

R_n=\xⁿ; te(0,1) n!

Oczywiście wartość błędu zależy zarówno od stopnia wielomianu aproksymujące-go jak i od wartości zmiennej x.

Na przykład dla n=4 i x=1 mamy:

r    < .3=1

^R4 4! 4! 4! 8

R =«!.<-§-<

* 6! 6! 6! 240

Można wykazać, że dla xe<-1,1> wartości funkcji e^x z dokładnością e =0,01 da się wyznaczyć ze wzoru

2    3    4    5

_P^x _i j__V4_^x__l2ś__i_ 2£__l2ś_

^C ~^{1 + X+}2! ⁺ 3!    4! ⁺ 5! ‘

2    3    4    ..5

A(5.7)

Jeżeli n rośnie nieograniczenie , to R_n jest wielkością nieskończenie małą dla każdej wartości xe R

tx

lim R_n = lim ^—xⁿ =0. n—>»o    n—»» n!

Dla funkcji y =ln(1+x) mamy:

2    3

x , x

n-1

ln(l₊x)=x-^₊2L_...₊(_i)n^__{+Rni    A}(5.8)