Obraz
6 (82)

W lecie 1994 roku Riidigcr < lamin uczył się u mnie przez dwa tygodnie podstaw matematyki i chnnii Potem zapoznałem go z nową metodą obliczania okresowych otlwioiności dla liczb typu 6n±l (również dla niezliczenie wielU i lii/bv mi* i'¹ P" przecinku). W metodzie tej za pomocą prostej rticlitmkowcl    znajduje się ostatnią cyfrę

okresu i następnie, powiat app mu......^. "‘I prawej do lewej, oblicza

się pozostałe cyfry (lian . la. Ml Ih. ' ^ znajdowano je poprzez

kolejne podziały, tein/ .. . nim t dl........ i okresu ułamka dziesiętnego

liczby nieparzystej ....... ¹ n»v i zv jest ona liczbą pierwszą¹.

Normalnie pi z. |.i...I.......U i "p> i.uji dla ułamka liczącego

sto miejsc po prze. mku ni. I>% |..|<\ im. Inw I" /użycia papieru i ołówka.

Ponieważ jednak Pinlipt i ma i...............    pamięć, poradził sobie

z zadaniem M\ l ...m, ...........l/tl n iipn iw poszczególne działania

w „pamięci pmi.......... pn , mii pi/..... 'I gotowy wynik do obszaru

„pamięci p I > •" 11 • i i vl.pl,hip pn pi v pia.\, gdy np. z zamkniętymi oczami pi, \ w. >1111. n puiuię.i ułamek .1/nMętny z setkami miejsc po przecinku i 11 a i.pnii i.ilc/ytuje go głoMio, normalnie lub wspak — to pi/. .-N.ie napi i.mI., i im vutijące kiedy w trakcie nauki teorii liczb zapoznał, iii go z tió|k.|l. iii Pascala, spontanicznie odczytał każdy z ko-. mli wieis/y jako |c.luą liczbę i od lazu zorientował się, że są to potęgi liczby 11:

1    -r    1    =    11°

11    -+    11    =    ll1

12    1    -r    121    =    U2

13    3    1    ->    1331    =    ll3

1    4    6    4    1 ->    14641    =    ll4

Ilustracja 19

W szóstym wierszu jednakże raptem się zająknął. Ponieważ występuje tu dwukrotnie liczba 10, przeszkodziło mu to w ujęciu całego wiersza jako jednej liczby:

Pokazałem mu, zc ciąg potęg liczby 11 ma dalszą ! • >iiIn iiu.it |i lal " że w szóstym wierszu po raz pierwszy występują liczby 10, konna zn\ |i i proces wymiany. Jeśli wyobrazimy sobie liczby szóstego wici sza w il/n siętnym systemie wartości miejsc, będziemy musieli, posuwając sn; od prawej do lewej, wymienić wszystkie cyfry większe od 9, tak jakbyśmy wymieniali np. dziesięć monet dziesięciogroszowych na jedną złotówki Nasz szósty wiersz reprezentować będzie wtedy liczba dziesiętna

1 6 1 0 5 1 = ll⁵

Proces ten można kontynuować dowolnie długo. Riidiger Gamm nieświadomie dostarczył mi więc dodatkowego dowodu.

*

Trójkąt Pascala jest więc zakodowany w systemie wartości mu jst Zawiera uporządkowany ciąg liczbowy, który można odczytać z góry na dół, równolegle do jego prawego lub lewego boku:

1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...

Kiedy jednak przeczytamy każdy wiersz od lewej do prawej jaku jedną liczbę, kolejne liczby ciągu z lewej strony (1, 2, 3,    ) otrzyinuią

ze względu na swoje miejscę dziesiętne nową wartość:

1	1
2-	10
3	100
4-	1000
5-	1000(1

Takie dziesiętne powiększanie odpowiada w ki w/u I" /b |»U iw**yt h dziesiętnemu zmniejszaniu wartości ułamka dzlcaęlmgo (.• >i• i ><• • i • • bez przecinka):

= 001234 5 678 9 (10) (11) (1-’)

W ciągu odczytywanym równolegle do prawego boku iio|kąli.....

tośćmiejsca dziesiętnego liczb (1, 2, 3,,..) nie ulega /iniault    11*i»

znajdują się na miejscu dziesiątek (wg systemu wailośi i mu p. i

10, 20, 30, 40, 50, ...

W ten sposób analogia najistotniejszych clcnu uiou ......Iku| u y u

krzyż liczb pierwszych i jego odwrotność, trójkąt Pum ulu ■' m m* kom piętna.

IM

1

Od czasów antycznych do dzisiaj istniała tylko jedna metoda odróżniania liczb pierwszych („sito Eratostcncsa”). Udali, nam się jednak wykazać, żc musi istnieć jeszcze druga

2

metoda.

3

Dla matematyków: test wyk.izii|.|ey, że dana liczba nic jest liczbą pierwszą, przeprowadza się na podstawie Małego 'Itak ulżenia Fermata. Zdołaliśmy odszyfrować w zakodowanym w liczbach pierwszych poi/.piku trójkąta Pascala nic znane dotychczas przesłanki

4

tego twierdzenia, z czego wynika, /. długości okresów wszyslkich liczb pierwszych są zakodowane. Z drugiej strony, lulało mi; wykazać, że istnienia twierdzenia Wilsona nic sposób wyjaśnić bez odwołania do ki/y/.i III /I. pierwszych.