Obraz5 (110)

braicznych, z ich własności wyłania się pojęcie liczby. Znaczenie tego dla rozwoju myśli matematycznej ucznia rozumie dobrze ten nauczyciel, który nie może wytępić błędów w rozwiązywaniu równań typu:

a-x = b => x = b - a lub a ■ x = b =? x = b - a itp., gdy uczniowie nie widzą związków między działaniami, przyswajano im bowiem mechaniczne nawyki, które często zawodzą, ale nie zrozumienie struktury algebraicznej.

Jeszcze inne ujęcie dydaktyczne eksperymentują niektórzy dydaktycy w ZSRR opierając się na psychologicznych sugestiach W. W. Dawidowa.¹⁵ Wychodzi się tu od ogólnego pojęcia wielkości i stosunku wielkości jednorodnych, od konkretnych manipulacji na wielkościach (pojemność, długość, ciężar itp.), przez literowe „kodowanie” obserwacji i ich schematyczne przedstawianie na rysunku aż do rachunku numerycznego, który pojawia się na końcu tego procesu. Oczywiście tu koncepcja naukowa liczby jako miary wymaga innego opracowania „czynnościowego” niż poprzednie.

W koncepcji naszej liczba powinna być syntezą tych wszystkich aspektów mnogościowego, miarowego i algebraicznego. Dlatego tu szukamy wielostronnego przygotowania czynnościowego ujęcia pojęciowego przez konkretne, wyobrażone, kodowane, pomyślane operacje.

b) Piętnastoletni uczniowie rozwiązują zadanie: jaką izometrią jest złożenie dwóch symetrii środkowych? Rozumowanie jest oparte na równoczesnym wykonywaniu czynności rysunkowych i zapisu symbolicznego. Rysunek 18 ilustruje poszczególne fazy tych dwóch równoległych konkretnych operacji:

Uczniowie wybierają punkty A, B jako środki danych symetrii środkowych. Wiedzą że symetrię środkową można złożyć z dwóch symetrii osiowych względem osi prostopadłych, przechodzących przez środek danej symetrii środkowej. Każdą z symetrii względem punktu A i względem punktu B można więc zastąpić złożeniem dwóch symetrii osiowych.

¹⁵ W. W. Dawidów, Widji obobszenia w obuczenii, Pedagogika. Moskwa 1972.

* StS₄

Zgodnie z zasadą racjonalizacji uczniowie badają możliwość zmniejszenia liczby operacji. W danym przypadku wystarczy posłużyć się trzema symetriami osiowymi, wybierając jako jedną z nich symetrię względem prostej przechodzącej przez A i przez B i oznaczonej literą c. Następnie uczniowie gestem ilustrują składanie symetrii osiowych, które wzięli pod uwagę: ręka przenosi się od (1) do (2), od (2) do (3) i wraca od (3) do (2), przenosi się dalej od (2) do (4). Następuje znowu racjonalizacja wykonywanych czynności: przejście od (2) do (3) i z powrotem od (3) do (2) jest niepotrzebne. Symetrię S_c można usunąć. Wymazanie wykreślonej kredą kreski oznaczonej literą c i równoległe skreślenie S_c S_c, we wzorze symbolicznym - to dwie czynności konkretne odpowiadające abstrakcyjnej operacji wykonanej na przekształceniach z uwzględnieniem własności łączności składania przekształceń oraz tego, że S_c S_c jest przekształceniem tożsamościowym. Pozostaje ostatni rysunek i ostatni zapis, oraz stwierdzenie: ponieważ a\\b, więc S_BS_A = S_bS_a jest translacją zgodnie ze znaną definicją. Twierdzenie: iloczyn dwóch symetrii środkowych jest translacją - zostało wykryte i udowodnione przez uczniów. Rusztowaniem całego toku rozumowania są wykonywane przez uczniów konkretne czynności. W dalszym ciągu większość uczniów będzie się już bez nich obchodzić w analogicznej sytuacji; pozostali będą do nich powracać: jeszcze wielokrotnie.

I

237