Odpowiedzi i wskazówki Zad 0 138

130.    sin/? =    cos0 = —.

289    ^h 289

131.    Wskazówka: przedstaw /? jako 180°— (a + y) i wykaż, że 2sin ~ sin

' 2

a    y

*= cos — cos — .

2    2

132. a) cos36°-cos72° =

2 sin 36°cos 36° • cos 72°    sin 72°cos 72°

2 sin 36°    2 sin 36°

2sin72°cos72°    sin 144°    sin 36°    1

4sin36°    4sin36°    4sin 36°    4’

sin²] 5° -f cos²15°    1

b) tglo° + ctgl5° = 2

cos lo°sin 15° 2

sin lo°cos 15°

= 4,

2sin 15°cos 15° sin30°

c)    dowód analogiczny jak w b),

,    sin30°    sin 15⁰cos30°+sin30°cos 15°

d)    sinl5 -]--r-^r‘COSl5° =

cos30° sin 45° V2

cos 30°

cos 30°

2    V2 _ VG

Vs    Vs ³

133. a) b) 15. 8

135. Rozwiązanie: mamy dowieść twierdzenia:

(Z) tg(oe+jS) = 3 tg a,

(T) sin(2a+2/?)+^siⁿ2a = 2sin2/?.

Aby je dowieść, zastąpimy najpierw założenie i tezę równoważnymi im: założeniem i tezą.

Mamy:

sin/?

cos(a+/?)cosa

tg(oc+0) = 3tga otg(a+/9)—tga = ^2tg«

=-osin/? = 2sinacos(a-f-/0 i cos(a-f/?) ^ 0 i cos a ^ 0

cos a

Tak więc założeniem równoważnym danemu założeniu jest:

(Z^sm/? = 2sinacos(a + /?) i cos(a+/?) # 0 i cos« # 0.

Przekształcamy teraz tezę:

sin(2a+2/?)-)-sin2a = 2sin2/3 o 2sin (2a + /?)cos^ = 2sin2/? o 2sin(2a+/?)cos/? —sin2/3 = sin2/9 o 2cos/?[sin(2a-j-/?)—sin/?] — _sj_n .yp ^ o 2cos/?2cos(a-|-/?)sina — sin 2/3.

Tezą równoważną danej tezie jest:

(T') 2008/3' 2cos(a+/l)sina = sin2/5.

Z przeprowadzonego rozumowania wynika, że twierdzenie: (Z) => (T) jest równoważne twierdzeniu: (Z') => (T'). Drugie z tych twierdzeń jest prawdziwe, wobec tego prawdziwe jest również twierdzenie pierwsze.

IHO. Ho związanie: marny dowieść twierdzenia:

(Z) 3sin^aa+2sin²/3 =1 i 3sin2a — 2sin2/3 = 0, i 0 < a < 90°, i 0° < /3 < 90°,

(T) a+2/3 = 90°.

Jeśli a i są kątami ostrymi to:

a+2/3 = 90° <?> cos (a+2/3) = 0    cosacos2/3 — sinasin2/5 = 0 <=>

0    cosa (1 —2sin²/3)—sinasin2/3 = 0.

A więc dane twierdzenie jest równoważne twierdzeniu:

(Z') 3sin²a+2sin²/3 =1 i 3sin2a —2sin2/3 = 0, i 0° < a < 90°, i 0° < /8 < 90°,

(T') cosa(l — 2sin²/3)—sin a* sin 2/3 = 0.

Z założenia otrzymujemy:

3sin2a

1    —2sin²/3 = 3sin²a i sin2/S = —--,

Z

zaś stąd:

3sin2a

cosa(l — 2sin²/?)—sinasin2/3 = cosa • 3sin²a—sina---- =

U

— 3cosasin²a—3sin²acosa = 0.

Tak więc twierdzenie: (Z') => (T') jest prawdziwe, wobec tego prawdziwe jest również twierdzenie (Z)    (T).

138. Rozwiązanie: jeśli tg(a+&’) — a i tg(a—y) = b, to

sin (a+ x)-sin (a— y)

1)---= ab

cos (a+ x) -cos(a — y)

i 2) tg(a + cr)-tg(a-y) = a-b.

sin (a + x) • sin (a—y) + cos (a + x) • cos (a — y)

Z 1) wynika równość:---------

cos(a + a;) • cos (a — y)

= afe + l.

— aó+1, która jest równoważna równości: cos(aj+i/)

cos (a + x) • cos (a — y)

sin (x-\-y)

= a—b,

cos (a + x) • cos (a—y)

Z 2) wynika równość:

z 1) i 2) wynika równość:

a — b

oó+l

= tg (£ + 2/).

151