Obraz8 (27)

3(1

2.4.4. Metody przedstawiania wyników za pomocą równań

Dane uzyskane w wyniku ekspery mentu wygodnie jest przedstawić za pomocą równania. Równanie zapewnia łatwe zapamiętywanie zależności pomiędzy zmiennymi, a zarazem pozwala w prosty sposób wykonać na tej zależności różne operacje, np. różniczkowanie.

Ustalaniem związku pomiędzy zmiennymi zajmuje się dział statystyki matematycznej zwany analizą regresyjną.

Jeżeli wartości jednej ze zmiennych oznaczy się przez x. a drugiej przez y. to każdą z jednostek zbioru będą charaktery zować dwie wartości (na wykresie każdemu punktowi płaszczyzny będą odpowiadać dwie wartości). Mając zbiór punktów na płaszczyźnie, można znaleźć równanie najlepiej odpowiadające rozkładowi zbioru tych punktów.

Przypuśćmy, że otrzymano rozkład punktów' zbliżony do prostoliniowego Między tymi punktami można przeprowadzić prostą:

y’;=at-bx_;    (2.26)

J

<

<

(

<

r

i:

gdzie : y - oszacowana wartość y dla zaobserwowanej wartości x. a ■ parametr dający oszacowaną wartość y dla x - 0. b - współczynnik kierunkowy prostej.

Z metod rachunkowych wyznaczania współczynników a i b tej prostej najczęściej stosuje się metodę średnich oraz metodę najmniejszych kwadratów.

W metodzie średnich zakłada się. ze suma odchyleń od tej prostej punktów otrzymanych w wyniku pomiarów jest najmniejsza

W metodzie najmniejszych kwadratów, pozwalającej precyzyjniej określić wartości współczynników równania zakłada się. że suma kwadratów odchyleń punktów eksperymentalnych od tej prostej jest najmniejsza.

Jeżeli wprowadzimy zmienną pomocniczą D równą sumie kwadratów odchyleń wartości y. od y i znajdziemy dla tej zmiennej minimum (przyrównując pierwszą pochodną do zera), otrzymamy:

n

li

n>=I(y_i - y)' = £(>■, -a-bx,)²,

ii    ii

rD

ó'a i i    im i=.-i

Stąd wolny wyraz a oblicza się za pomocą wzoru:

a = y - bx ,

gdzie:

-21 (y, - a - bx_;)-0 - Vy, -b£x; -na

(2.27)

ot

lv,

i=i

ot