stat PageB resize

42

3.6 Testy statystyczne

Twierdzenie 3.38 (Lemat Neymana-Pearsona). Niech

⁽³-^9o)

przy czym P#₀ (K‘) = a i P#, (K‘) = 1-/3. Jeśli K C Cl jest takim zbiorem, że P0o(K)<a, to P_#1(/0<l-j5.

Test, którego obszar krytyczny K* dany jest wzorem (3.90) nazywamy testem ilorazu wiarygodności. Zauważmy, że jeśli obszar krytyczny K‘ odpowiada pewnemu testowi ó“, to K jest obszarem krytycznym dla innego testu 6. Twierdzenie 3.38 oznacza, że test ilorazu wiarygodności jest testem najmocniejszym, i to jednostajnie (bo hipoteza alternatywna jest jednopunktowa).

3.6.2    Własności testów

Podobnie jak w przypadku estymatorów, testy statystyczne powinny być tak skonstruowane, aby działać zgodnie z naszymi zamierzeniami. Mówią o tym następujące definicje podające pożądane własności testów.

Pierwsza definicja podaje jedno z najsłabszych, ale zarazem najbardziej naturalnych wymagań dotyczących testów. Przypuśćmy, że testujemy hipotezę zerową Ho : 9 € @o przeciw hipotezie alternatywnej H\ : 9 € ©i. Dla potrzeb naszego testu posiadamy nieskończoną próbę X\, X$,____Bazując na tych danych,

budujemy odpowiedni ciąg testów postaci ó„(Xi, X2,...,, X_n) dla n = 1,2,____

Tak naprawdę oznacza to, że mamy jeden test, tylko wykonywany dla coraz większego zbioru złożonego z n początkowych elementów próby X\, A'2,____

Definicja 3.39. Powiemy, że test ó_n(Xi,X2,..., X_n) jest testem zgodnym na poziomie istotności a, jeśli

1.    lim_n_co P$ (ó_n(Xi, ^2,..., X_n) = 1) < a dla każdego 0 € Go,

2.    lim_n__<x> P$ (<S_n(Xi, X<ł,... ,X„) = 1) = 1 dla każdego 9 € Gj.

Powyższa definicja oznacza, że przy zwiększaniu się liczebności próby test zgodny utrzymuje ustalony przez nas poziom istotności a, a „przy nieskończonej próbie” na pewno odrzuci hipotezę zerową, jeśli jest fałszywa.

Definicja 3.40. Załóżmy, że hipotezą zerową w naszym teście będzie Ho : 9 £ Go? « hipotezą alternatywną H1 : 0 € Oj. Powiemy, że test ó jest testem nie-obciążonym, jeśli dla dowolnych 0q € Go i 9\ £ Gi zachodzi

Po, (S_n(Xi, X₂,..., X_n) = \)> P#₀ (<$„(*!,X₂,- - •, X_n) = 1) .    (3.91)

Oznacza to, że moc testu nieobciążonego nigdzie nie spada poniżej poziomu istotności.

3.6.3    Przykłady testów statystycznych

Test proporcji / frakcji

Wzór (3.78) określa przepis na odpowiedni test, sprawdzający hipotezę

H₀:p = Po    (3.92)