str161 (3)

§4. WYZNACZANIE ORYGINAŁU 161

WANIA

Ale, jak wiadomo, suma szeregu występującego po prawej stronie (6) jest funkcją Bessela J₀(at). Ostatecznie więc mamy

/(0 = W_T1L=U/_o(n0.

Ws +a /

Zadanie 4.11. Wiedząc, że <P(s) = - sin-, znaleźć oryginał

s s

tuważamy, że funkcję naszą

|r-

lurina. Otrzymujemy wtedy

ończoności. Szereg po prawej kcji postaci (3.10) (por. wła-rginał f(t) otrzymamy, biorąc ; po prawej stronie relacji (3) ryrazie. Otrzymujemy wtedy

ritych.

h...

m

-^L“(ł^si“7)-

Rozwiązanie. W celu rozwiązania naszego zadania rozwijamy funkcję sin- na szereg

s

Laurenta w otoczeniu nieskończoności. Mamy wtedy

(1)

Mnożąc obustronnie (1) przez 1/s, mamy

1.111 i    (-i)"⁺¹

T^Sm7 ^_ ?~?3! ⁺ s"*5] ■" “ 2^i s²"(2n —1)1'

1 _ 1 1 1 1

s s s³3! ⁺ s⁵5! s⁷7! ⁺

(2)

1 1

Ze wzoru (2) wynika, że funkcja <I> (.?) = -sin- czyni zadość wymaganiom własności 4, § 3.

s s

Wobec tego na mocy wzoru (3.11) szukany oryginał /(/) otrzymujemy biorąc we wzorze (2) obustronnie odwrotne przekształcenie Laplace’a, przy czym po prawej stronie wzoru (2) bierzemy odwrotne przekształcenie Laplace’a wyraz po wyrazie. Otrzymujemy wtedy

(3)

n= 1

Z tablic przekształceń Laplace’a, § 8, odczytujemy, że

<⁴>

Uwzględniając związek (4) w prawej stronie wzoru (3), mamy

/<')=^Ł-(>ł)=    Ż⁽-^ir'«£w-

n= 1

Zadanie 4.12. Dana jest transformacja K(s) = 2/(s + 3) liniowego członu. Wyznaczyć sygnał wyjściowy u₂(t), jeżeli sygnał wejściowy jest określony wzorem u_t(/) = t².

U —Wybrane działy matematyki...