str198 (3)

198 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 5 7. RÓWNANIA CALKOV

Rozwiązanie. Stosujemy do obu stron równania (1) przekształcenie Laplace’a i wykorzystując jego liniowość otrzymujemy

(3)    L (/) + 4 L (y) + 5L [ / y (t) dr] = L (O •

Na mocy wzoru (1.7) mamy

(4)    L(y') = SL(y)—y(0). Uwzględniając w równaniu (4) warunek początkowy (2), mamy

(5)    L(y') = SL(y).

Na mocy wzoru (1.9), mamy

(6)

^L[I'^y(^T) j⁼^^L(y)‘

Z tablicy przekształceń odczytujemy

(7)

L(0 =

S + l

Uwzględniając wzory (5), (6) oraz (7) w równaniu (3), otrzymujemy po przekształceniach

S

(8)

L(y) =

(S + l)[(S + 2)² + l]

Rozkładając prawą stronę wzoru (8) na ułamki proste, otrzymujemy

1

(9)

L(y)=    ¹

S+2    3

2 S+l 2 (S + 2) +1    2 (S + 2) +1

Stosując do obu stron równania (9) przekształcenie odwrotne Laplace’a i wykorzystując jego liniowość, otrzymujemy

(10)

w-(_» y

\S + 1/    V(S + 2)² + V    V(S+2)² + i;

V(S + 2)² + l

Z tablicy przekształceń Laplace’a otrzymujemy

S+2

(U)

L-'(—) = e-^{, L~^l( ^S+]    ) = e-^2,cost,

\S+lJ    \(S+2)² + l/

^L ((S + 2)² + l)

sint.

Podstawiając wzory (11) do równania (10), otrzymujemy szukane rozwiązanie równania (1)

y= — łe~'+^e~²'(cost + 3sinf)-

Zadania do rozwiązania

1. Znaleźć rozwiązanie rc

a) y(0 = /(0+fe'“^tl’W'

^c) j7₀(l-T)y(i)dT = sini o

2. Znaleźć rozwiązanie ul

(1)

przy warunku początkowym

(2)

Odpowiedzi

1.    a) y = f(t)+e²'$e ²¹/

.    o

b)    y = 1—t, wskazó’

c) y = J₀(t) i d).y =

2.    y= -le'+i(5+/-t²) wskazówka: por. z metodą wiadomą znajdujemy z drug

§ 8. Tablica przekształć

Lp.	Transforn
	LIRO
1
2	S
3	S>
4	S>
5