str204

204 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

Rozwiązaniem ogólnym równania (3) jest funkcja

(4)    u(x ,y) = A (x) e*.

Wyznaczamy obecnie taką funkcję B(x, y), ażeby wyrażenie

(5)    u{x,y) = B{x,y)<?'

było rozwiązaniem równania (2). W tym celu różniczkujemy funkcję (5) względem zmiennej y, a następnie obliczoną pochodną oraz funkcję (5) podstawiamy do równania (2)

pj D

— e^y2+B2ye^yl—2 yBe?² =<p(y). dy

Po wykonaniu redukcji mamy

dB    ₂

(6)    — = <p(y)e ^y ,

dy

skąd dla otrzymania B(x,y) wystarczy scałkować obie strony wyrażenia (6) względem zmiennej y

(7)    B(x,y) = ^(p(t)e~^,idt+A(x).

o

Funkcję B(x,y) określoną zależnością (7) podstawiamy do zależności (5) i otrzymujemy stąd ogólne rozwiązanie (2), a zatem rozwiązanie równania (1)

w (*» y) = -4 (x) e?² + J cp (t) e^,*~'² dt. o

Zadanie 1.4. Wyznaczyć rozwiązanie u(x,y) równania

d²u dxdy

u(x, 0) = x⁵,    u(0, y) = y².

Rozwiązanie. Całkując dwukrotnie obie strony równania (1), raz względem zmiennej x, a drugi raz względem y, otrzymujemy ogólne rozwiązanie

(3)    u(x,y) = xy+F(x)+G(y), gdzie F i G są dowolnymi funkcjami jednej zmiennej.

W zależności (3) uwzględniamy warunki (2) i stąd mamy

u(x ,0) = F(x)+G (0) = x⁵,

^u (0, y) = F(0)+G (y) = y²,

tzn. że

(4)    F(x) = x⁵ —G(0), G(y) = y²—F(0).

Z zależności (4) wynika, ż do zależności (3), otrzymujen

Zadanie 1.5. Wyznaczyć

(1)

spełniające następujące warunki:

= 1,

(2)

(1)

spełniające następujące waru (2) « Rozwiązanie. Całkujeir

(3)

gdzie cp(x) jest dowolną funk metodą uzmienniania stałej j wym (patrz zad. 1.3). Rozw

(4)

jest funkcja

(5)

Obecnie uzmienniamy wz, szukujemy takiej funkcji B(

(6)

spełniła równanie (3). Różnił z funkcją (5) podstawiamy

i

i

i stąd otrzymujemy zależno

(7)

Obecnie całkujemy obie

(8)

Podstawiając funkcję B(. nania (3), a zatem i równai

(9)    «