Str009 (2)

14 I. Kilka ragadnieit elementarnej teorii liczh

(2) Jeśli b > 10, to zwyczajowo używa s/ę liter na oznaczenie cyfr większych niż 9. Można również używać liter dla wszystkich cyfr.

Przykład 1.

(a)    (1W01QQ1)_Z-201.

(b)    Dla b=26 u żyjmy liter A-Z odpowiednio dla cyfr 0-25. Wtedy (BAD)₂₆ m 679 oraz (B,AD)_i6 * 1 ~.

Przykład 2. Pomnóżmy 160 przez 199 w systemie o podstawie 7.

Rozwiązanie:    316

403

1254

16030

161554

Przykład 3. Podzielmy (11001001)₂ przez (100111)₂ i podzielmy (HAPPY)₂₆ przez (SAD)₂₆.

Rozwiązanie:

101

_1001X1

11001001 : 100111 100111 101101 100111 110

KD

HAPPY : SAD GYBE COLY CCAJ

MLP

Przykład 4. Zapiszmy 10⁶ w systemach o podstawach 2, 7 i 26 (używając liter A-Z jako cyfr w ostatnim przypadku).

Rozwiązanie. Aby zapisać liczbę n w systemie o podstawie b, najpierw otrzymujemy ostatnią cyfrę (rząd jedności), dzieląc n przez b i biorąc resztę. Następnie zastępujemy n ilorazem i powtarzamy postępowanie, by otrzymać przedostatnią cyfrę d_x itd. W ten sposób otrzymamy

10⁶=(11110100001001000000)₂ « (11333311)₇=(CEXHO)₂₆.

Przykład 5. Zapiszmy n fj 3,1415926... w systemie o podstawie 2 (wykonując obliczenia do 15 miejsca po przecinku) i o podstawie 26 (z dokładnością do 3 miejsc po przecinku).

Rozwiązanie. Po obliczeniu części całkowitej, część ułamkową zapisujemy w systemie o podstawie b, mnożąc ją przez h i biorąc część całkowitą jako gL _t, następnie powtarzając ten proces dla części ułamkowej otrzymanego wyniku itd., uzyskując kolejno d__lt d_^,.... W ten sposób otrzymujemy

3,1415926... = (11,001001000011111. ..)₂ = (D,DRS...}₂₆.

Liczba cyfr. Jak już wspomnieliśmy wcześniej, liczba całkowita n spełniająca nierówność b^k~^l < n < # raa fc cyfr w systemie o podstawie b. Z definicji logarytmu daje to następujący wzór na liczbę cyfr przy podstawie b (symbol „[ ]” oznacza tu część całkowitą liczby):

liczba cyfr = [log_fcn] + 1 =

logn log 6

+1,

przy czym „log” oznacza tu (i przez cały czas od tej chwili) logarytm naturalny

log”.

Operacje na bitach. Na początek przyjrzyjmy się bardzo prostemu zadaniu arytmetycznemu, a mianowicie dodawaniu dwóch liczb zapisanych w systemie dwójkowym; na przykład:

nu

1111000 + 0011110 10010110

Przypuśćmy, że obie liczby mają po k bitów (słowo „bit” jest skrótem od angielskich słów „binary digit” - cyfra binarna, dwójkowa); jeśli jedna z nich ma mniej bitów niż druga, to dopisujemy zera na początku, jak w przykładzie, aby zrównać ich długości. Chociaż w powyższym przykładzie mamy do czynienia z małymi liczbami (dodajemy 120 i 30), powinniśmy zdawać sobie sprawę z tego, że k może być bardzo duże, takie jak 500 lub 1000.

Przeanalizujmy dokładnie, jak przebiega to dodawanie. W zasadzie musimy powtórzyć k razy następujące czynności:

1.    Patrzymy na górny i dolny bit oraz sprawdzamy, czy jest przeniesienie powyżej górnego bitu.

2.    Jeśli oba bity są równe 0 i nie ma przeniesienia, to zapisujemy 0 i przesuwamy się do następnego miejsca.

¹¹ Logarytm naturalny zazwyczaj oznacza się symbolem ln. W dalszym dągu będziemy używać symbolu log, tym bardziej że w wielu przypadkach nie będzie istotne, jaka jest podstawa logarytmu (przyp. tłum.).