img071 (25)

76

równania równoważnego (4.3) oraz organizacją procedury obliczeniowej. Zanim przeds wionę zostaną dwie przykładowe metody rozwiązywania równania (4.2), wykorzystują algorytm iteracji prostej, zbadane zostaną warunki zbieżności ciągu iterowanego dane formułą (4.4), definiującego ciąg kolejnych przybliżeń dla wyznaczenia rozwiązania ró nania (4.3). Dla sformułowania odpowiednich kryteriów zbieżności niezbędne są nastęj jące uwagi dotyczące norm w przestrzeni R” i norm macierzy [7, 8, 19].

Do najczęściej wykorzystywanych należą następujące trzy normy zdefiniowane w pr: strzeni R" dla ustalonego wektora x = (x\, x₂,    , x_n)^T e R" wzorami.

def >i

I* fi =£l*/| (jesttotzw norma pierwsza),    (4

7=1

def

\ 1/2

V i=l

(jest to tzw norma druga lub euklidesowa),

(4

| jc 1^ = max|x_J| (nomra maksimum).    (^

Normy te są szczególnym przypadkiem, dla yz = 1, p = 2 i dla p —ko, tak zwanych nc wektorowych Holdera określonych wzorem

def

1 /p

IN

_v,=l    J

dla p > 1

Dla norm (4.5), (4.6) i (4.7) spełnione są następujące nierówności:

O

(4,

\\^XL»

I x|| < II jc|L < fn II x |

I iloo II 112    II I

(4

Wszystkie trzy wymienione normy są sobie równoważne. Oznacza to, że zbieżność ci wektorów w R” ze względu na metrykę w R" określoną przez jedną z tych norm pociąg sobą zbieżność tego ciągu ze względu na metrykę określoną przez każdą z dwóch pozc łych norm.

W dalszych rozważaniach potrzebna będzie też definicja normy macierzy Z wszystkich macierzy A o m wierszach i n kolumnach z działaniami dodawania macii i mnożenia ich przez liczbę (tutaj rozważane są macierze o elementach będących liczb rzeczywistymi) tworzy przestrzeń liniową [2, 16]. Jeżeli macierz