IMG66

spełniające warunek początkowy y(0) ^n= I.    j/(0) ** JA ⁴⁸ 2

rllrt łf 2= tł(f) = 6"“^*

Wyznaczając poszukiwane rozwiązanie metodą operatorową, poddajemy ohie ntrn> ny równania (C.30) przekształceniu Laplacek i po uwzględnieniu liniowości przekształcenia (C.3) otrzymamy

a*v

+ 3 C

df^a

Biorąc pod uwagę* że

dS

c

£

(I f*

dg

dt

dii

df

2C

2 C

= a^aK(s) - ^st/(0) -= .iK(.i)‘ #)

= sU{s) — u(0)j    t/(s) as

dtt

* 4* 3

(C.32)

oraz warunek początkowy (0.31) i t*(0) ®» 1, t równania (C.25) otrzymujemy

_ H| _m v    ₌    2*4-1    _ , _.* 4 3

^W “ M(s) ¹ '    M(») (a 4-t)(* 4- 2)(* + 3)    (* + 1)(* + 2)

przy czym M(a) *= #^a 4- 3* 4 2, L(s) = 2* 4-1, Ło(») = 3 4 4. Równanie M(a) ~ 0 tna pierwiastki *i — -l, *2 — 2. Korzystając ze wzoru (C. 17) dla (C.33), otrzymamy

#<e    d

Weźmy pod uwagę układ n równań różniczkowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach

d#

(C.33)

dt

Ax + f

(0.34)

gdzie .r c IR" jest, nieznany, A € R^n><n i / e R^rt jósfc dany. Poszukiwać będziemy metodą operatorową rozwiązalna x * ;r(t) równania (0.34) spełniającego warunek początkowy *(0) ~ ffo, % € K” jest, dane. Poddajemy obie strony równania

(0.31) przekształceniu baplaeek i po uwzględnieniu, że C K'_f- ~ «X(#)^-fc®(0) otrzymamy

X(») = [U - A\~^x (*o 4* !'(»))

gdzie /•» ® C (/(<)!• Biorąc pod uwagę, że «■ £“* [U* - A\ oraz korzystająca z twierdzenia Borela dla (C.35), otrzymamy

(0*36)

..At

M i i fc^w ^f(r)Ar 10

(C.36)