Inżynieria finansowa Tarcz0

170 Strategie inwestowania...

Ceny opcji w pozostałych węzłach wyznacza się ze wzoru: (p-C_u+(\-p)C_d)-e^rAl,

gdzie wartości C„ i C_f/ pochodzą zawsze z wcześniejszego węzła licząc od końca drzewa. Zatem zgodnie z kolejnością obliczeń otrzymujemy:

F = (0,5027 • 0 + 0,4973 • 0) ■ ćT⁰'¹⁹⁰'⁰⁸³³ » 0,98 D = f0,5027 • 0 + 0,4973 • 3,18) • e^-0'¹⁹'⁰'⁰⁸³³ - 1,56 E = (0,5021 • 3,18 + 0,4973 • 8,1 Oj • e^-0'¹⁹⁰'⁰⁸³³ = 5,54 C = (0,5027 • 0,98 + 0,4973 • 1,56) ■ e^-0'¹⁹⁰-⁰⁸³³ = 1,25 B = (0,5027 • 1,56 + 0,4973 ■ 5,54) • e"⁰'¹⁹ 0’⁰⁸³³ - 3,48 A = (0,5027 • 1,25 + 0,4973 • 3,48) ■ e^-0’¹⁹⁰'⁰⁸³³ « 2,32.

Jeżeli opcja z rozpatrywanego przykładu byłaby opcją amerykańską jedyna różnica w budowie drzewa dwumianowego polegałaby na tym, że przy obliczaniu ceny opcji w węzłach z wyłączeniem węzłów ostatnich byłaby wynikiem porównania ceny obliczonej jak powyżej z różnicą między ceną wykonania opcji a ceną akcji w węźle. Dla opcji sprzedaży jako cenę opcji należy przyjąć większą z tych liczb. Zatem w rozpatrywanym przykładzie jeżeli przyjmiemy, że opcja sprzedaży akcji jest opcją amerykańską inne wartości opcji należałoby wpisać tylko w punkcie E, w którym różnica między ceną wykonania opcji i ceną akcji jest większa niż obliczona wartość 5,54 (20-14,15=5,85). Opcja amerykańska sprzedaży akcji powinna zostać w tym punkcie wykonana ponieważ jej właściwa wartość wynosi w tym węźle 5,85.

Bardzo podobne jest wykorzystanie drzew dwumianowych do wyceny opcji wystawianych na indeksy, walutę czy kontrakty futur es. W praktyce opcje te są traktowane jako akcje przynoszące dywidendę wypłacaną w sposób ciągły. Ponieważ stopa dywidendy, przy założeniu obojętności do ryzyka, jest to stopa zwrotu wynikająca ze zmiany cen akcji, zatem we wzorach w których występuje stopa wolna od ryzyka r należy ją pomniejszyć o stopę dywidendy. Pozostałe wzory, po dokonaniu tej korekty, są prawdziwe i można je stosować również do opcji wystawianych na indeksy, walutę i kontrakty futures.