liczby Z
8

35

o fi Postać wykładnicza liczby zespolonej

_Dowód. Udowodnimy tylko pierwszą równość. Dwie następne wynikają z pierwszej Zauważmy, ze jeżeli z, = i, + _JVl i z₂ = _l2 + j_Vo /_. „    , ^Y ,^{ją z} Pierwszej.

9 5 2 i 2 3 1 mamy    '^X,ł^ **)* ^{to w}°bec twierdzenia

e^zie~² = _e^zi+J'vi . _e*2+^y₂

=    e^'(cos jm + j sin|/i) • e^x*(cosy₂ + jainy₂)

= ^{e 2}(^c°s(yi +y₂) +jsin(yi + j/₂))

=    _e*₁+x₂+j(»₁₊v_J) _{= e}U₁₊j_wl)+(x_2+JV2) _{= e},_{1+13 n}

Wniosek 2.5.3. e* = 1 wiedj/ i tylko wtedy, gdy z = 2knj, gdzie k jest liczba całkowitą.

Dowód. Zauważmy najpierw, że jeśli k jest liczbą całkowitą, to e^2k7TJ = cos2/c-7t -f js\n2kir = 1 4- jO = 1.

Niech teraz z = x + jy (x,y 6 rt) będzie takie, że e* = e¹ (cos y + j sin y) = 1. Wtedy e¹ sin y - 0 i dlatego y - hr (dla pewnej liczby całkowitej l). Jednocześnie e^x cos y = e cos In - e (-1) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 i l jest liczbą parzystą, l - 2k. Stąd z - x + jy - 0 + j2ki: = 2knj dla pewnej liczby całkowitej k. □

Wniosek 2.5.4. Dla liczb zespolonych z_x i z₂ jest e^z' = e*² wtedy i tylko wtedy, gdy Z] - z₂ = 2knj dla pewnej liczby całkowitej k. □

Z definicji funkcji trygonometrycznych cos z i sin z, ze wzorów Eulera oraz z wniosków 2.5.1-2.5.4 łatwo wyprowadza się (i to bez odwoływania się do geometrii) wszystkie wzory redukcyjne i wszystkie tożsamości trygonometryczne znane dla rzeczywistych funkcji trygonometrycznych. Tu przykładowo wyprowadzimy wzór na sumę sinusów.

Przykład 38. Dla wszystkich zespolonych x i y jest

₀ . x + y    x-y

sin x *f sm y — 2 sin-cos-.

2 2

Ze wzorów Eulera ((2.41) i (2.42)) oraz z wniosku 2.5.2 mamy

2 j    2

=    — (e^jx+ e^jy-e~^jy-e~^jx)

2j ^v    1

e?^x — e~*^x ei* - e~^jy

- h--—- = sin x -+ sin y.

2j

2j

2.6. Postać wykładnicza liczby zespolonej

Ponieważ każdą różną od zera liczbę zespoloną z można zapisać w postaci tiy-gonometrycznej

z — |jzt|(cos    j sin ą>),

gdzie (p = arg (z), więc wobec wzoru Eulera można ją także zapisać w postaci

^ = |*|e”\    (²-⁴³)

Postać wykładnicza liczby zespolonej

zwanej postacią wykładniczą liczby zespolonej z,

Przykładowo mamy

l+j = V2e>* i -V3-i =

Z własności liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej natychmiast wynikają następujące własności liczb zespolonych w postaci wykładniczej.