RAPIS026

RACHUNEK PRAWDOP^OBmŃmYA^TA^STYKA

1.    (5 pkt) Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa postaci: P(X = -3) = 0.2

P(X =    1) = 0.3, P(X = 0) - 0.2, P(X = 1) = 0.1, P{X = 2) = 0.2.

Oblicz a) dystrybuantę zmiennej losowej X, b) wariancję X, c) medianę X, d) kwantyl rzędu 0.1 zmiennej losowej X, e) modę.

2.    (5 pkt) Wiadomo,żc pomiary pewnym przyrządem mają rozkład rozkład normalny o wariancji 9. Ile pomiarów trzeba wykonać aby przy współczynniku ufności 1 - a = 0.98 maksymalny błąd oszacowania wartości oczekiwanej tych pomiarów wyniósł 1?

3.    (5 pkt) Zbadano nj = 100 losowo wybranych automatów z napojami produkowauych przez firmę A i n₂ - 125 losowo wybranych automatów z napojami produkowanych przez firmę D. Okazało się, że w badanej grupie średni czas potrzebny na wydanie butelki napoju przez automat firmy A wyniósł: zj = 5 sekund a dla automatów firmy D wyniósł = 4 sekundy. Wariancja pomiaru dla automatów obu firm jest jednakowa i wynosi o² = 1 sekunda². Na poziomie istotności a — 0.1 zweryfikować hipotezę, że automaty firmy B wydają butelkę szybciej niż automaty firmy A. Zakładamy , że czas potrzebny na wydanie butelki napoju przez automat jest zmienna losową o rozkładzie normalnym.

•1. (za każdą prawidłową odpowiedź: + 1 pkt, za każdą złą odpowiedź: -1 pkt, za brak odpowiedzi: 0 pkt) Czy poniższe zdanie jest prawdziwe:

K](*) Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych,zdarzeń losowych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.

PtO

}/T / Nflj) Jeśli P(A) = 0.5 oraz P{B) = 0.3 oraz B C A, to P{B \ A) = 0.2. f    ^ '

J' . FJ (^)    zdarzenie A i B są parą zdarzeń niezależnych, to P(B) = 1 — P(A)

_r?p (^) Przy jednokrotnym rzucie kostką prawdopodobieństwo, że wypadnie szóstka pod warun-' ‘    kiem, że wypadła szóstka jest równe jeden.    ^    ^ ^

p P (e)j Funkcja gęstości prawdopodobieństwa nie może osiągać wartości mniejszych od zera. -W-K Suma punktów skokowych zmiennej losowej typu skokowego jest zawsze równa 1.    \ \ C

^ \    Dystrybuanta dowolnej zmiennej losowej jest zawsze funkcją ciągły. \i* \£

l J|J® Jeżeli P(X = Q) = l,toD²(X)= 1.    y

7* (D Kwanty! rzędu 0.3 r*

„    ^    u

f1^T P0 Warto c oczekiwana zmiennej losowej i;ioze l>yc liczby ujemny.    ^

N© Jeżeli E(X) = 1, to E(-3X + 1) = 4.

^— ,fT^ Zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0,2) ma wariancję równą

Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie #(16,0.5) wynosi 16.    ^    ^/

hi (b) Moda zmiennej losowej o rozkładzie jV(4,0.1) wynosi 4 .

~y (o) Średnia z próby jest estymatorem wartości oczekiwanej.

Zaliczenie egzaminu następuje przy otrzymaniu co najmniej 15 punktów w tym co najmniej -f5 punktów za zadanie 4 (testowe).