s24 25

24

32. 5	33. 1	34. —oo
35. |	36. \	37. 0
38. 1	39. e^6	40.e^-2
41. e^-3	42. —oo	43.|
44. -Ł	45 -	46. 7T
47. |tt	48. 0	49. f
50. f	51. -oo	52. oo
53. oo	54. —oo	55. —oo
56. oo	57. oo	58. -oo
59. oo	60. 0	61. oo
62. 0	63. 0	64. oo
65. 1	66. |	67. 1
68. -1	69. -2	70. 2
71. 6	72. -6	73. -2
74. 2	75. 1	76. -1
77. s/2	78. -\/2	79. -f
80. §	81. f	82. -f

1.2.5. Ciągłość funkcji

Zbadać ciągłość następujących funkcji: ( x^2 + 2x x < 1,				( ^17 cos —x \x\ < 1,
1. f(x) = <	4-x k x^2 + 2 a:	1 < x < 2, a; > 2	2. f(x) = <	2 x — 1 |a:| > 1

Rozwiązania

1. Funkcja / jest ciągła, w punkcie xq <==> lim f(x) = f(xo). Zauważmy, że / jest

ciągła w zbiorze (—oo, 1) U (1,2) U (2, oo). Pozostaje zbadać ciągłość tej funkcji w punktach: x = 1 i x = 2.

()(■•/,ywińcie, /(1) = 3. Ponadto

lnu f(x) = lim (x² + 2x) = 3,    lim f(x) = lim (4 - x) = 3,

• I    r~|-    J- — 1 +    j.‘    1 +

ii wi<*<*

•im f(x) = 3 = /(1).

i*—1

Mi|d wynika ciągłość funkcji / w punkcie x = 1.

/I mi ła jmy teraz ciągłość / w punkcie x = 2. Zauważmy, że /(2) = 8. Ponieważ lim    f(x) = lim (4    — x) = 2,    lim f(x)    = lim    (x² +    2x) = 8,

i •'!    r—2~    x —2+    x—>2+

wlec granica lim f(x) nie istnieje, a więc funkcja / nie może być ciągła w punkcie

i 2. Zatem funkcja / jest ciągła w zbiorze (—oo, 2) U (2, oo). Punkt x = 2 jest punktem nieciągłości funkcji / i jest to punkt nieciągłości I rodzaju.

I Należy zbadać ciągłość funkcji / jedynie w punktach: x = — 1 i x = 1. Zauważmy, że /( —1) = 0, oraz

lim    f(x) = lim (x — 1)    = —2,    lim f(x)    = lim    cos — x    = 0.

• • -I    X—j-    *—1+    X—-1+    2

a więc granica lim f(x) nie istnieje, stąd funkcja / jest nieciągła w punkcie

X —* — i

i -1.

Podobnie zbadamy ciągłość funkcji / w punkcie x = 1. Mamy /(l) = 0, oraz

7r

lim /(ar) = lim cos —x = 0,    lim f(x) = lim (x — 1) =0.

.1' f 1 ~    x-tl- 2    x^l+    X—*1 +

Hl.ąd wynilca, że

lim f(x) = 0 = /(l),

X*—rl

a więc funkcja / jest ciągła w punkcie x = 1.

< )dp. Funkcja / jest ciągła w zbiorze (-oo, -1) U (-1, oo), a punkt x — -1 jest punktem nieciągłości I rodzaju.

Wyznaczyć wartość parametru k tak, aby zadana funkcja / była ciągła:

3. f(x) =

—x² + 6 x + 2 k

x < 1, x > 1

3 + e *	x < 0,
sin kx	x > 0,
3x
3	x = 0