010 (22)

Zadanie 1 (3p)

Rozwiąż nierówność [x³ - 8 <    + 2x + 4.

Zadanie 2 (6p)

1:

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których układ równań I mx - 4y = cos²10° +cos² 80° + m

\2x + 2y = 1

ma dokładnie jedno rozwiązanie spełniające warunki: x>0 i y<0.

Zadanie 3 (4p)

Wielomian X³ -(a + ó)x² -(a-fc)x + 3 jest podzielny przez wielomian x^J _4jt + 3 . Oblicz a i b.

Zadanie 4 (4p)

Liczbę 2 przedstaw w postaci sumy dwóch takich liczb, by suma sześcianów tych liczb była najmniejsza.

Zadanie 5 (3p)

Sześć osób, dwie panie i czterech panów' kupiło bilety na pociąg do tego samego sześcioosobowego przedziału. Numery miejsc były przydzielane w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie panie będą siedziały przy oknie.

Zadanie 6 (6p)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kwadrat długości krawędzi podstawy', kwadrat wysokości i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 7 (6p)

Za pomocą układu dwóch nierówności opisz zbiór punktów zacieniowany na rysunku.

^ly

i

-t -b

b 4

Zadanie 8 (3p0

Dane są dwa ciągi (a_n) i (b„). Wyraz ogólny ciągu (a_n) jest określony wzorem u_n =

natomiast ciąg (b_n) jest określony rekurencyjnie

Oblicz a4 - b,j.

Arkusz rozszerzony (II - 11)

Zadanie l(3p).

Wyznacz zbiór wszystkich punktów osi liczbowej, których suma odległości od punktów 1 oraz 3 jest mniejsza od 6.

Zadanie 2(3p).

Wyznacz wszystkie wartości x z przedziału <0;2;r>, dla których liczby cos²x - sin²x ; 0,5sin²x ; 1 - cos²x w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Zadanie 3(4p).

Dane są punkty A = (2;2), B = (5;3). Na prostej o równaniu x + y = 0 wyznacz punkt C tak, by długość łamanej ACB była najmniejsza.

Zadanie 4(3p).

Z siedmiu osób, wśród których są Janek i Marek, wybieramy losowo trzy osoby. Oblicz prawdopodobieństwo, źe w wybranej trójce znajdzie się Marek i nie będzie w niej Janka.

Zadanie 5(4p).

Punkt D jest punktem wewnętrznym trójkąta ABC. Wykaż, że 2(\AD\ + \BD{ + |CD|) >\AB\ + \BC\ + \AC\

Zadanie 6(6p).

Współczynniki a, b, c wielomianu W(x) = x³ + ax² + bx + c są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x + 1 jest równa 2, a jego reszta z dzielenia przez x + 2 jest równa -4. Oblicz iloraz ciągu.

Zadanie 7(7p).

Punkty A = (2;7), C = (8;15) są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu 25. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.

Zadanie 8(5p).

Zbadaj liczbę rozwiązań równania 2x • (2 - |x|) = m w zależności od parametru m.

Zadanie 9(5p).

Podaj wymiary graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o największym polu powierzchni całkowitej, jeżeli suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa 6m.

Zadanie 10(5p).

Dane są punkty A = (1 ;4), B = (7;13). Na prostej AB wyznacz punkt C tak, by \AC\ :|Z?C| = 2:1.

Zadanie 1 l(5p).

Trapez równoramienny o podstawach długości 20 cm i 8 cm oraz kącie ostrym 50°, obraca się dookoła prostej zawierającej dłuższą podstawę. Oblicz objętość powstałej bryły. Wynik podaj z zaokrągleniem do 0,001 cm².