15508 Obraz8 (107)

równe boki. Te dwie sytuacje - to już nie to samo w świadomości ucznia. W pierwszym przypadku wykonywał inne konkretne czynności cyrklem i linijką, w drugim inne. W pierwszym co innego uważał za rezultat wykonanej operacji niż w drugim.

Gdy to doświadczenie ucznia zostanie uogólnione (na tym poziomie jeszcze intuicyjnie), przechodzi się od poziomu „czynność-rezultat” na poziom wyższy przesłanka-wniosek: ,jeżeli stwierdzę, że dwa boki trójkąta są równe, to mogę być pewny, że kąty tego trójkąta przeciwległe tym bokom są równe; Jeżeli stwierdzę, że kąty trójkąta są równe, to mogę być pewny, że przeciwległe tym kątom boki trójkąta są równe”. Jest to już poziom logicznej inferencji. To rozumienie jest wystarczające w dużym zakresie matematyki szkolnej. Droga genetyczna, którą naszkicowałam, to właśnie fragment czynnościowego nauczania matematyki.

Nie należy jej pomijać, gdy uczeń przechodzi do bardziej złożonej dedukcji. Obserwowałam lekcję, w toku której dowodzono twierdzeń wzajemnie odwrotnych o czworokącie wpisanym w okrąg, w obu przypadkach zaczynając rysunek od nakreślenia okręgu i wpisania weń czworokąta. Część uczniów nie rozumiała istoty rzeczy. Natomiast te trudności nie występowały, gdy nauczyciel kierował lekcją tak, aby kolejność wykonywanych operacji rysunkowych odpowiadała kolejności: założenie - teza. Uczniowie kreślili więc najpierw okrąg i wpisywali weń czworokąt, gdy dowodzili twierdzenia: ,,jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma jego przeciwległych kątów jest równa 180°”. Przy badaniu twierdzenia odwrotnego do tego twierdzenia postępowano inaczej. Uczeń czytał założenie: „suma przeciwległych kątów czworokąta równa się 180°” i szkicował odręcznie „mniej więcej” rysunek czworokąta, czyniącego zadość temu warunkowi. Formułowano zagadnienie: czy na takim czworokącie można opisać okrąg? Uczniowie stwierdzili, że przez trzy wierzchołki czworokąta można poprowadzić okrąg i tylko jeden. Zagadnienie sprowadzone zostało do badania, czy czwarty wierzchołek tego czworokąta musi wtedy do tego okręgu już należeć. W ten sposób szkicowanie danych na rysunku nasunęło uczniowi ideę dowodu.

Tego rodzaju postępowanie, w którym odpowiednio dobrane czynności konkretne sprzyjają prawidłowemu tokowi myśli, prawidłowemu powiązaniu założenia z tezą, interioryzuje się z czasem w postaci swobodnych, giętkich operacji myślowych. Uczeń mając przed oczyma szkic tej samej niezmiennej konfiguracji geometrycznej, może ją już wtedy interpretować rozmaicie, przyjmując pewne stosunki jako dane i pomijając inne, w różnych kombinacjach logicznych. To, co pierwotnie wykonywał konkretnie, wykonuje teraz tak samo, z taką samą wyrazistością w myśli. Uczeń przenosi się swobodnie od przypuszczenia, że jakieś dwa odcinki są równe, do przypuszczenia, że te dwa odcinki nie są równe; odwracając twierdzenie zmienia swobodnie punkt widzenia: to, co poprzednio uznawał za wniosek, staje się teraz dlań założeniem. Tę giętkość myśli trzeba jednak wykształcić w procesie dydaktycznym, kierowanym świadomie przez nauczyciela.

4. Prawidłowe kształtowanie sprawozdawczo-antycypacyjnych schematów postępowania w nauczaniu matematyki

4.1. Uświadomiliśmy sobie już rolę czynności konkretnych w aktywności matematycznej ucznia i to zarówno tych czynności, które wykonuje on w określonej sytuacji praktycznej dla osiągnięcia celu bezpośrednio związanego z tą sytuacją (np. gdy dobiera dwa pręty równej długości, aby skonstruować ramkę w kształcie równoramiennego trójkąta), jak i czynności, które wykonuje wprawdzie konkretnie, ale w znaczeniu symbolicznym

-    dla celów pozostających poza tą sytuacją rzeczywistą (np. gdy kreśli odręcznie na tablicy trójkąt, przyjmując umownie, że dwa boki tego trójkąta są równe, choć na rysunku wizualnie są one nierówne). Zwróciłam uwagę na istotne znaczenie doboru tych czynności, który powinien być kierowany głęboką analizą matematycznej struktury materiału nauczania. Podkreśliłam również dydaktyczne walory przekładania treści nauczania (definicji, twierdzeń) na sprawozdawczo-antycypacyjne plany postępowania, sprawozdawcze w tym znaczeniu, że sformułowane w wyniku interioryzacji ciągu pewnych czynności wykonywanych poprzednio materialnie i w wyobraźni, antycypacyjne, ponieważ są planami postępowania, które mogą być stosowane w dalszym ciągu jako przyswojone narzędzie w rozwiązywaniu problemów określonego typu. Aby takie plany nie funkcjonowały jednak jako recepty opanowane mechanicznie, bez zrozumienia, potrzebne są przy ich opracowywaniu pewne zabiegi dydaktyczne, z których niektóre o charakterze bardziej ogólnym omówię ilustrując je bardzo - jak zwykle w tej książce

-    prostym przykładami zaczerpniętymi z praktyki szkolnej.

243