10

Rys. 3.4. Odkształcenie pręta w funkcji przemieszczeń węzłów

Równanie wydłużenia pręta AB(ej) w funkcji przemieszczenia węzłów A i B przyjmuje postać według rysunku 3.4b-e

ej = -Jtjcosa - jc₂sina + -jc₃cos(X + -jc₄sina.

Element sztywności macierzy [£]

Element sztywności macierzy [S] kratownicy wyraża wartości sił w prętach w funkcji ich wydłużenia (skrócenia).

E: A,

F_; = S_; e_w- =

gdzie: Lj, Aj, Ej- odpowiednio długość, pole przekroju i moduł Younga materiału pręta.

Innymi słowy, element sztywności (sztywność pręta) stanowi wartość siły w pręcie powodującej jednostkowe jego wydłużenie; dla kratownicy jest macierzą kwadratową o wymiarach NF ^x NF.

Stąd

{*} " [S\{e]    (3-4)

1

s

Macierz [£JS]

Podstawiając równanie (3.3) do równania (3.4), otrzymano

{F} = [S\{e] = [S][B]{X} - [SB]{X\    (3.5)

Macierz [SB] wyraża wartość sił w prętach kraty w funkcji przemieszczeń węzłów.

Macierz statyki [A]

Wyraża wartości zewnętrznych sil węzłowych kratownicy w funkcji wartości sił w prętach.

Rys. 3.5. Równowaga układu węzły-pręt; a) równowaga węzłów; b) równowaga pręta

Wymiar macierzy NP x NF

{P} = [A]{F)    (3.6)

Przykładowo dla pręta AB (rys. 3.5) ustalono równania równowagi węzłów A i B obciążonych siłami zewnętrznego obciążenia i wewnętrzną siłą osiową.

Pi = -Fjco sa,

P2 = -Fjsma,

P3 = Jymsa,

Pą = i^sina.

Należy zauważyć, że w przypadku NF = NP kratownica jest statycznie wyznaczal-na, zaś macierz [A] jest macierzą kwadratową [A]_Np_xNP.

Ponieważ [5] = [A^r], wówczas

(e) = [A^T-[{X)    (3.7)

Skąd:

(NP = NF),

(X)={A^t]{X).

Macierz sztywności (globalna macierz sztywności) kratownicy [X]

Przekształcając równanie (3.6) otrzymano

{/’}= MM= M[s»] M= Ł*sb] W= \asa^t]{x}= [k]{x}    0.8)

Macierz [ATj = [ASA^T] wyraża wartości sił węzłowych w funkcji przemieszczeń węzłów całej kratownicy, dlatego często jest nazywana globalną macierzą sztywności. Jest kwadratowa i posiada macierz odwrotną.

61